Encontre os números críticos da seguinte função:
f(x)=x^{3}+6 x^{2}-15 x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}+6x^{2}-15x
e pede para encontrar os números críticos dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 3 com coeficientes 1, 6 e -15.
  • O pedido é: listar todos os valores de x que são números críticos.

Passo 2

O que é um número crítico? Um número x é crítico de f se, em x:
  1. a derivada f'(x) é zero, ou
  2. a derivada f'(x) não existe.
Então a estratégia é:
  • calcular f'(x) (a derivada da função), e
  • resolver a equação f'(x)=0 e também verificar onde f'(x) não existe.
Como calcular a derivada de um polinômio de forma rápida? Usamos a regra do poder (power rule):
  • Para uma função x^{n} com n inteiro, a derivada é
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicando devagar: o expoente desce multiplicando a potência e reduzimos o expoente em 1. Exemplos rápidos:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.

Passo 3

Aplicando a regra do poder termo a termo em f(x)=x^{3}+6x^{2}-15x:
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\big(6x^{2}\big)=6\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=6\cdot 2x=12x.
Derivada do terceiro termo:
\frac{d}{dx}\big(-15x\big)=-15\cdot\frac{d}{dx}\big(x\big)=-15\cdot 1=-15.
Somando os termos, obtemos a derivada:
f'(x)=3x^{2}+12x-15.

Passo 4

Agora resolvemos f'(x)=0:
3x^{2}+12x-15=0.
Primeiro, podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3 (isso facilita e não altera as raízes):
x^{2}+4x-5=0.
Agora fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números cujo produto seja -5 e cuja soma seja 4. Esses números são 5 e -1 (pois 5\cdot(-1)=-5 e 5+(-1)=4). Logo:
x^{2}+4x-5=(x+5)(x-1).
Portanto a equação fica
(x+5)(x-1)=0.

Passo 5

Pelo princípio do produto nulo, cada fator pode ser zero, dando as soluções:
x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=-5,
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 6

Verificação sobre existência da derivada: f'(x)=3x^{2}+12x-15 é um polinômio, definido para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não há pontos onde f'(x) deixa de existir.
Conclusão: os únicos números críticos são as soluções onde f'(x)=0, isto é x=-5 e x=1.
Dica rápida para a prova: faça sempre em três passos — calcule f' (usando a regra do poder), simplifique/fatore f', e resolva f'=0. Se f' for polinomial, não se preocupe com existência (ela existe em todo lugar).

Resposta

-5
1

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