Encontre os números críticos da seguinte função:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar os números críticos dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau 3 com coeficientes
, e . - O pedido é: listar todos os valores de
que são números críticos.
Passo 2
O que é um número crítico? Um número
é crítico de
se, em
:
- a derivada
é zero, ou - a derivada
não existe.
Então a estratégia é:
- calcular
(a derivada da função), e - resolver a equação
e também verificar onde não existe.
Como calcular a derivada de um polinômio de forma rápida? Usamos a regra do poder (power rule):
- Para uma função
com inteiro, a derivada é
Explicando devagar: o expoente desce multiplicando a potência e reduzimos o expoente em 1. Exemplos rápidos:
Passo 3
Aplicando a regra do poder termo a termo em
:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Derivada do terceiro termo:
Somando os termos, obtemos a derivada:
Passo 4
Agora resolvemos
:
Primeiro, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(isso facilita e não altera as raízes):
Agora fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
(pois
e
). Logo:
Portanto a equação fica
Passo 5
Pelo princípio do produto nulo, cada fator pode ser zero, dando as soluções:
Passo 6
Verificação sobre existência da derivada:
é um polinômio, definido para todo
. Portanto não há pontos onde
deixa de existir.
Conclusão: os únicos números críticos são as soluções onde
, isto é
e
.
Dica rápida para a prova: faça sempre em três passos — calcule
(usando a regra do poder), simplifique/fatore
, e resolva
. Se
for polinomial, não se preocupe com existência (ela existe em todo lugar).