Diferencie a seguinte função contendo logaritmos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para diferenciá‑la, ou seja, encontrar
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é produto de duas partes: uma parte polinomial
e uma parte logarítmica .
O que se pede: - Calcular a derivada de
em relação a e apresentar o resultado simplificado.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadinhas com calma):
- Regra do produto: se
, então
Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
- Regra do poder (caso simples): se
com constante, então
No nosso caso usaremos com
.
- Derivada de logaritmo composto (regra da cadeia): se
, então
Aqui
é a função interior e
a sua derivada.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso problema.
Passo 3
Identificar as duas funções do produto:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
usando a regra do poder:
Explicando: multiplica‑se pelo expoente
e diminui‑se o expoente em
, ficando
.
Passo 5
Derivada de
. Aplicando a regra da cadeia com
:
Uma observação alternativa (mais direta para lembrar):
, e como
é constante, a derivada é
. Ambas as formas dão o mesmo resultado.
Passo 6
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 7
Simplificar o segundo termo:
Portanto
Passo 8
Fatorar
para deixar a resposta mais compacta (uma forma útil na prova):
Essa é uma forma final simples e bonita para apresentar.