Diferencie a seguinte função contendo logaritmos:
y=x^{2} \ln (2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função \;y = x^{2} \ln(2 x)\; e pede para diferenciá‑la, ou seja, encontrar \;y'=\dfrac{dy}{dx}\;.
Informações dadas:
  • A função é produto de duas partes: uma parte polinomial \;x^{2}\; e uma parte logarítmica \;\ln(2x)\;.
    O que se pede:
  • Calcular a derivada de \;y\; em relação a \;x\; e apresentar o resultado simplificado.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadinhas com calma):
  • Regra do produto: se \;y = u(x)\,v(x)\;, então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui \;u'(x)\; e \;v'(x)\; são as derivadas de \;u\; e \;v\; em relação a \;x\;.
  • Regra do poder (caso simples): se \;u(x)=x^{n}\; com n constante, então
u'(x)=n x^{n-1}.
No nosso caso usaremos com n=2.
  • Derivada de logaritmo composto (regra da cadeia): se \;v(x)=\ln(g(x))\;, então
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Aqui \;g(x)\; é a função interior e \;g'(x)\; a sua derivada.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso problema.

Passo 3

Identificar as duas funções do produto:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\ln(2x).
Vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=x^{2} usando a regra do poder:
u'(x)=2x.
Explicando: multiplica‑se pelo expoente 2 e diminui‑se o expoente em 1, ficando 2x^{1}=2x.

Passo 5

Derivada de v(x)=\ln(2x). Aplicando a regra da cadeia com g(x)=2x:
g'(x)=2, \qquad v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.
Uma observação alternativa (mais direta para lembrar): \ln(2x)=\ln 2+\ln x, e como \ln 2 é constante, a derivada é 0+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}. Ambas as formas dão o mesmo resultado.

Passo 6

Aplicar a regra do produto:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=2x, u(x)=x^{2}, v(x)=\ln(2x) e v'(x)=\dfrac{1}{x}:
y' = 2x\cdot \ln(2x) + x^{2}\cdot \frac{1}{x}.

Passo 7

Simplificar o segundo termo:
x^{2}\cdot \frac{1}{x}=x.
Portanto
y' = 2x\,\ln(2x) + x.

Passo 8

Fatorar x para deixar a resposta mais compacta (uma forma útil na prova):
y' = x\bigl(2\ln(2x) + 1\bigr).
Essa é uma forma final simples e bonita para apresentar.

Resposta

\;y' = x\bigl(2\ln(2x) + 1\bigr)

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