Faça um esboço de uma função contínua que falhe em ser derivável em exatamente dois pontos. Justifique seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço (um gráfico simples) de uma função que seja contínua em toda parte e que falhe em ser derivável em exatamente dois pontos. Informações dadas/assumidas:
- Quero uma função
contínua em todos os . - A função deve não ser derivável somente em dois pontos (e derivável em todos os outros pontos).
- Não há restrições adicionais (posso escolher a construção que for mais simples de justificar).
Passo 2
Escolho uma função simples construída com valor absoluto, porque valor absoluto cria “cantos” (pontos onde a derivada lateral muda) de forma fácil de controlar. Proponho:
Vou agora justificar que esta escolha satisfaz o que o enunciado pede.
Passo 3
Mostrando que
é contínua em todo
.
- A função
é contínua em todo (valor absoluto é contínuo e a soma com só desloca o argumento). - A função
é contínua em todo . - Soma de funções contínuas é contínua, portanto
é contínua em todo .
Isso já garante a continuidade pedida.
Passo 4
Escrever
de forma piecewise (por partes) para ver onde a expressão muda de forma linear e onde aparecem cantos.
Identificar intervalos determinados pelas raízes dos argumentos dos absolutos:
e
. Em cada intervalo substituo
pelo seu sinal:
- Para
: e . Então - Para
: e . Então - Para
: e . Então
Também verifico os valores nos pontos de junção:
o que bate com as fórmulas por partes (limites laterais). Portanto o gráfico consiste em:
- uma reta de inclinação
para , - um segmento horizontal constante
em , - uma reta de inclinação
para ,
com junções eme .
Passo 5
Calcular a derivada em cada região (onde
é expressão linear):
- Para
: então . - Para
: então . - Para
: então .
Logo
é derivável em todos os pontos que não são
nem
, pois em cada intervalo aberto a função é linear (derivada constante).
Passo 6
Analisar derivabilidade em
e
usando derivadas laterais.
Definição prática: uma função é derivável num ponto se e só se as derivadas à esquerda e à direita existem e coincidem.
-
Em
: - derivada à esquerda é o limite do coeficiente da reta para
, isto é ; - derivada à direita é o coeficiente no intervalo
, isto é .
Como, a derivada em não existe.
- derivada à esquerda é o limite do coeficiente da reta para
-
Em
: - derivada à esquerda é o coeficiente no intervalo
, ; - derivada à direita é o coeficiente para
, .
Como, a derivada em não existe.
- derivada à esquerda é o coeficiente no intervalo
Portanto
não é derivável exatamente nos pontos
e
.
Passo 7
Conclusão e descrição do esboço do gráfico (como desenhar na prova):
- Pontos-chave:
e . - Para
desenhar uma reta com inclinação que atinge o ponto . - Entre
e desenhar uma linha horizontal . - Para
desenhar uma reta com inclinação que parte do ponto . - Nos pontos
e há cantos (vértices) onde a derivada não existe; em todos os outros pontos a função é diferenciável.
Esse esboço mostra claramente que a função é contínua em toda parte e falha em ser derivável em exatamente dois pontos.