Faça um esboço de uma função contínua que falhe em ser derivável em exatamente dois pontos. Justifique seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço (um gráfico simples) de uma função que seja contínua em toda parte e que falhe em ser derivável em exatamente dois pontos. Informações dadas/assumidas:
  • Quero uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua em todos os x\in\mathbb{R}.
  • A função deve não ser derivável somente em dois pontos (e derivável em todos os outros pontos).
  • Não há restrições adicionais (posso escolher a construção que for mais simples de justificar).

Passo 2

Escolho uma função simples construída com valor absoluto, porque valor absoluto cria “cantos” (pontos onde a derivada lateral muda) de forma fácil de controlar. Proponho:
f(x)=|x+1|+|x-1|.
Vou agora justificar que esta escolha satisfaz o que o enunciado pede.

Passo 3

Mostrando que f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função x\mapsto |x+1| é contínua em todo \mathbb{R} (valor absoluto é contínuo e a soma com +1 só desloca o argumento).
  • A função x\mapsto |x-1| é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Soma de funções contínuas é contínua, portanto f(x)=|x+1|+|x-1| é contínua em todo \mathbb{R}.
Isso já garante a continuidade pedida.

Passo 4

Escrever f de forma piecewise (por partes) para ver onde a expressão muda de forma linear e onde aparecem cantos.
Identificar intervalos determinados pelas raízes dos argumentos dos absolutos: x=-1 e x=1. Em cada intervalo substituo |\cdot| pelo seu sinal:
  • Para x<-1: x+1<0 e x-1<0. Então f(x)=-(x+1)- (x-1) = -2x.
  • Para -1<x<1: x+1>0 e x-1<0. Então f(x)=(x+1)- (x-1) = 2.
  • Para x>1: x+1>0 e x-1>0. Então f(x)=(x+1)+(x-1)=2x.
Também verifico os valores nos pontos de junção:
f(-1)=|0|+|{-2}|=0+2=2,\qquad f(1)=|2|+|0|=2+0=2,
o que bate com as fórmulas por partes (limites laterais). Portanto o gráfico consiste em:
  • uma reta de inclinação -2 para x<-1,
  • um segmento horizontal constante f(x)=2 em -1<x<1,
  • uma reta de inclinação +2 para x>1,
    com junções em x=-1 e x=1.

Passo 5

Calcular a derivada em cada região (onde f é expressão linear):
  • Para x<-1: f(x)=-2x então f'(x)=-2.
  • Para -1<x<1: f(x)=2 então f'(x)=0.
  • Para x>1: f(x)=2x então f'(x)=2.
Logo f é derivável em todos os pontos que não são -1 nem 1, pois em cada intervalo aberto a função é linear (derivada constante).

Passo 6

Analisar derivabilidade em x=-1 e x=1 usando derivadas laterais.
Definição prática: uma função é derivável num ponto se e só se as derivadas à esquerda e à direita existem e coincidem.
  • Em x=-1:
    • derivada à esquerda é o limite do coeficiente da reta para x<-1, isto é f'_-( -1)=-2;
    • derivada à direita é o coeficiente no intervalo (-1,1), isto é f'_+( -1)=0.
      Como f'_-( -1)=-2\neq 0=f'_+( -1), a derivada em x=-1 não existe.
  • Em x=1:
    • derivada à esquerda é o coeficiente no intervalo (-1,1), f'_-(1)=0;
    • derivada à direita é o coeficiente para x>1, f'_+(1)=2.
      Como f'_-(1)=0\neq 2=f'_+(1), a derivada em x=1 não existe.
Portanto f não é derivável exatamente nos pontos x=-1 e x=1.

Passo 7

Conclusão e descrição do esboço do gráfico (como desenhar na prova):
  • Pontos-chave: (-1,2) e (1,2).
  • Para x<-1 desenhar uma reta com inclinação -2 que atinge o ponto (-1,2).
  • Entre -1 e 1 desenhar uma linha horizontal y=2.
  • Para x>1 desenhar uma reta com inclinação +2 que parte do ponto (1,2).
  • Nos pontos -1 e 1 há cantos (vértices) onde a derivada não existe; em todos os outros pontos a função é diferenciável.
Esse esboço mostra claramente que a função é contínua em toda parte e falha em ser derivável em exatamente dois pontos.

Resposta

f(x)=|x+1|+|x-1|,\\ \text{não derivável em }x=-1\text{ e }x=1ãá.

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