Encontre a derivada da função
usando a definição estrita e determine o domínio de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular a derivada de
usando a definição estrita (a definição pelo limite). - Determinar o domínio de
.
Informações fornecidas:
-
.
Perguntas explícitas:
- Qual é
obtida pela definição ? - Qual é o domínio de
?
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
- A derivada de
em um ponto é
onde
é um incremento pequeno aplicado a
. Esse limite (se existir) dá a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
. Aqui
é uma variável genérica (qualquer ponto onde avaliamos a derivada).
Estratégia prática: calcular
, formar a diferença
, dividir por
, simplificar (fatorando
), e então fazer o limite
. Se no quociente sobrarem termos com
multiplicando, eles desaparecem ao aplicar o limite.
Passo 3
Calcular
. Substituir
na expressão de
:
Agora expandir os binômios (usar a fórmula de binômio de Newton; eu mostro as parcelas):
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Simplificar
agrupando termos:
Primeiro desenvolver o produto com :
Primeiro desenvolver o produto com
Então
Agora calcular a diferença
. Lembrando que
. Subtraindo:
Agora cancelar
,
e
que aparecem em ambos:
Passo 5
Formar o quociente diferença sobre
:
Agora fatorar
no numerador (todas as parcelas têm pelo menos um
):
Reescrevi dividindo cada termo por
.
Passo 6
Aplicar o limite
. Os termos que contêm
vão a zero:
-
, -
, -
, -
.
Portanto o limite é simplesmente o que sobrou sem
:
(Comentário didático rápido: cada termo que tinha
desapareceu ao fazer
, restando apenas os termos puramente em
. Isso é típico ao derivar polinômios pela definição: os termos de ordem maior em
somem.)
Passo 7
Fatoração e observação sobre a forma final (ajuda na interpretação):
Podemos fatorar para ver raízes ou comportamento:
Podemos fatorar
Isso mostra claramente que a derivada se anula em
, mas essa informação é apenas interpretativa (não pediu, eu só mostro para treinar).
Quanto ao domínio:
é um polinômio (produto/soma de potências de
com coeficientes reais). Polinômios estão definidos para todo
. Além disso, polinômios são diferenciáveis em todo
, então não há pontos excluídos.
Resposta
Domínio de
:
(todos os números reais)