Encontre a derivada da função f(x)=x^{4}-2 x^{2}+2 usando a definição estrita e determine o domínio de f^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede duas coisas:
  • Calcular a derivada de f usando a definição estrita (a definição pelo limite).
  • Determinar o domínio de f^{\prime}.
Informações fornecidas:
  • f(x)=x^{4}-2 x^{2}+2.
Perguntas explícitas:
  1. Qual é \,f'(x)\, obtida pela definição \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}?
  2. Qual é o domínio de \,f'(x)?

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
  • A derivada de f em um ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h é um incremento pequeno aplicado a x. Esse limite (se existir) dá a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto x. Aqui x é uma variável genérica (qualquer ponto onde avaliamos a derivada).
Estratégia prática: calcular f(x+h), formar a diferença f(x+h)-f(x), dividir por h, simplificar (fatorando h), e então fazer o limite h\to 0. Se no quociente sobrarem termos com h multiplicando, eles desaparecem ao aplicar o limite.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substituir x+h na expressão de f:
f(x+h)=(x+h)^{4}-2(x+h)^{2}+2.
Agora expandir os binômios (usar a fórmula de binômio de Newton; eu mostro as parcelas):
(x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4},
(x+h)^{2}=x^{2}+2x h+h^{2}.
Substituindo na expressão de f(x+h):
f(x+h)=\bigl(x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}\bigr)-2\bigl(x^{2}+2x h+h^{2}\bigr)+2.

Passo 4

Simplificar f(x+h) agrupando termos:
Primeiro desenvolver o produto com -2:
-2\bigl(x^{2}+2x h+h^{2}\bigr)=-2x^{2}-4x h-2h^{2}.
Então
f(x+h)=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}-2x^{2}-4x h-2h^{2}+2.
Agora calcular a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=x^{4}-2x^{2}+2. Subtraindo:
\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &=\bigl(x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}-2x^{2}-4x h-2h^{2}+2\bigr)\\\ &\quad -\bigl(x^{4}-2x^{2}+2\bigr). \end{aligned}
Agora cancelar x^{4}, -2x^{2} e +2 que aparecem em ambos:
f(x+h)-f(x)=4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}-4x h-2h^{2}.

Passo 5

Formar o quociente diferença sobre h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}-4x h-2h^{2}}{h}.
Agora fatorar h no numerador (todas as parcelas têm pelo menos um h):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4x^{3}+6x^{2}h+4x h^{2}+h^{3}-4x-2h.
Reescrevi dividindo cada termo por h.

Passo 6

Aplicar o limite h\to 0. Os termos que contêm h vão a zero:
  • 6x^{2}h \to 0,
  • 4x h^{2}\to 0,
  • h^{3}\to 0,
  • -2h\to 0.
Portanto o limite é simplesmente o que sobrou sem h:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(4x^{3}+6x^{2}h+4x h^{2}+h^{3}-4x-2h\bigr)=4x^{3}-4x.
(Comentário didático rápido: cada termo que tinha h desapareceu ao fazer h\to 0, restando apenas os termos puramente em x. Isso é típico ao derivar polinômios pela definição: os termos de ordem maior em h somem.)

Passo 7

Fatoração e observação sobre a forma final (ajuda na interpretação):
Podemos fatorar f'(x) para ver raízes ou comportamento:
f'(x)=4x^{3}-4x=4x\bigl(x^{2}-1\bigr)=4x(x-1)(x+1).
Isso mostra claramente que a derivada se anula em x=-1,\,0,\,1, mas essa informação é apenas interpretativa (não pediu, eu só mostro para treinar).
Quanto ao domínio: f'(x) é um polinômio (produto/soma de potências de x com coeficientes reais). Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Além disso, polinômios são diferenciáveis em todo \mathbb{R}, então não há pontos excluídos.

Resposta

f'(x)=4x^{3}-4x
Domínio de f'(x): \mathbb{R} (todos os números reais)

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