- (IME) Determine
natural para que
, onde
é um real diferente de zero e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar
tal que
onde
é real não nulo e
O conteúdo aqui é o uso das raízes da unidade e propriedades de exponenciação complexa.
Passo 2
Definimos
que satisfaz
e
. Assim
e
Como
, temos
Logo
Passo 3
Substituindo em
e fatorando
, resta
Como
e
tem período 2, basta estudar
módulo 6.
Passo 4
Escrevemos
com
e avaliamos
r=0.
r=1.
r=2.
r=3.
r=4.
r=5.
r=1.
r=2.
r=3.
r=4.
r=5.
Passo 5
Conclusão: a equação só se satisfaz quando
ou
. Ou seja,
Resposta
Os valores naturais
que satisfazem a equação são exatamente
com
.