1. (IME) Determine n natural para que (x+k)^{n}-x^{n}-k^{n}=0, onde k é um real diferente de zero e x=k \cdot e^{\frac{2 \pi-i}{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para achar n\in\mathbb{N} tal que
(x+k)^{n}-x^{n}-k^{n}=0,
onde k é real não nulo e
x = k\cdot e^{\frac{2\pi i}{3}}.
O conteúdo aqui é o uso das raízes da unidade e propriedades de exponenciação complexa.

Passo 2

Definimos
w = e^{\frac{2\pi i}{3}},
que satisfaz w^3=1 e 1+w+w^2=0. Assim
x = k\,w,
e
x + k = k(w+1).
Como 1+w = -w^2, temos
x + k = -k\,w^2.
Logo
(x+k)^n = (-k\,w^2)^n = (-1)^n\,k^n\,w^{2n}, \quad x^n = k^n\,w^n.

Passo 3

Substituindo em (x+k)^n - x^n - k^n=0 e fatorando k^n\neq0, resta
(-1)^n\,w^{2n} - w^n - 1 = 0.
Como w^3=1 e (-1)^n tem período 2, basta estudar n módulo 6.

Passo 4

Escrevemos n=6m+r com r\in\{0,1,2,3,4,5\} e avaliamos
D(r) = (-1)^r w^{2r} - w^r - 1.
r=0. (-1)^0 w^0 - w^0 -1 = 1 - 1 -1 = -1\neq0.
r=1. (-1)^1 w^2 - w -1 = -w^2 - w -1 = -(w^2+w+1)=0.
r=2. (-1)^2 w^4 - w^2 -1 = w - w^2 -1 \neq0.
r=3. (-1)^3 w^6 - w^3 -1 = -1 -1 -1 = -3\neq0.
r=4. (-1)^4 w^8 - w^4 -1 = w^2 - w -1 \neq0.
r=5. (-1)^5 w^{10} - w^5 -1 = -w - w^2 -1 = -(w+w^2+1)=0.

Passo 5

Conclusão: a equação só se satisfaz quando r=1 ou r=5. Ou seja,
n \equiv 1 \pmod{6} \quad\text{ou}\quad n \equiv 5 \pmod{6}.

Resposta

Os valores naturais n que satisfazem a equação são exatamente
n = 6m + 1 \quad\text{ou}\quad n = 6m + 5,
com m\in\mathbb{N}_0.

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