1. Passar a expressão e^{\sqrt{8}+(2 k+1) \pi \cdot i} para as formas trigonometria e algébrica.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expressão
e^{\sqrt{8} + (2k+1)\pi\,i}
nas formas trigonométrica e algébrica. O conteúdo envolve números complexos e a fórmula de Euler
e^{a + i\theta} = e^a\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).

Passo 2

Primeiro separemos a parte real e a parte imaginária do expoente. Note que
\sqrt{8} = 2\sqrt{2},
logo
e^{\sqrt{8} + (2k+1)\pi\,i} = e^{2\sqrt{2}} \;e^{(2k+1)\pi\,i}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler para a parte imaginária, obtemos a forma trigonométrica:
e^{2\sqrt{2}}\,e^{(2k+1)\pi\,i} = e^{2\sqrt{2}}\bigl(\cos\bigl((2k+1)\pi\bigr) + i\sin\bigl((2k+1)\pi\bigr)\bigr).

Passo 4

Sabemos que para todo inteiro k vale
\cos\bigl((2k+1)\pi\bigr) = -1, \quad \sin\bigl((2k+1)\pi\bigr) = 0.
Substituindo, a forma trigonométrica fica
e^{2\sqrt{2}}\bigl(-1 + i\cdot 0\bigr) = -\,e^{2\sqrt{2}}.

Resposta

Forma trigonométrica:
e^{2\sqrt{2}}\bigl(\cos\bigl((2k+1)\pi\bigr) + i\sin\bigl((2k+1)\pi\bigr)\bigr).
Forma algébrica:
-\,e^{2\sqrt{2}}.

Exercícios relacionados