(Difícil) Engenheiros da companhia telefônica estudam se o modelo de Poisson pode ser ajustado ao número N de chamadas interestaduais que chegam, por hora, a uma central telefônica, durante o período noturno. Os dados coletados referentes a 650 períodos de uma hora, estão apresentados a seguir :
Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 >=8
Freq. Observada 9 38 71 115 125 106 79 50 57
Os engenheiros sugerem utilizar uma taxa de ocorrência de 4.5 chamadas por hora no período estudado. Seguindo o modelo indicado, obtenha a frequência esperada de ocorrências com k Chamadas, sendo k=2.

Passo 1

O enunciado pede para estimar, sob o modelo de Poisson com taxa lambda=4.5, a frequência esperada de períodos com k=2 chamadas, dado um total de 650 períodos observados.

Passo 2

No modelo de Poisson, a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é dada por:
P(N=k)=e^-lambdalambda^kk!

Passo 3

Substituindo lambda=4.5 e k=2 na fórmula, obtemos:
P(N=2)=e^-4.54.5^22!

Passo 4

Calculando o valor numérico:
e^-4.5approx0.011109,
4.5^22!=20.252=10.125
Logo,
P(N=2)approx0.011109times10.125approx0.11261

Passo 5

Para achar a frequência esperada de períodos com 2 chamadas, basta multiplicar a probabilidade pelo número total de períodos (650):
E=650times0.11261approx73.2

Resposta

A frequência esperada para k=2 é aproximadamente 73,2 períodos.

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