Suponha que as notas em certa disciplina estão normalmente distribuídas com média 5,0 e desvio padrão 1,5:
a) Determine o percentual de estudantes com nota superior a 8,0;
b) Se a nota mínima para obter aprovação e 3,0, determine o percentual de estudantes reprovados;
c) Explique por que a probabilidade de um estudante dessa população obter nota acima de 9,8 é praticamente zero.

Passo 1

O enunciado diz que as notas seguem uma distribuição normal com média μ=5,0 e desvio padrão σ=1,5. Precisamos usar a padronização para transformar X∼N(5,1,5) em Z∼N(0,1) e, a partir daí, consultar a tabela da normal padrão (ou função Φ).

Passo 2

Para a letra (a), queremos P(X>8,0). Padronizando, temos
z=8,0-5,01,5=3,01,5=2,0
Então
P(X>8,0)=1-Phi(2,0)
Da tabela da normal padrão Φ(2,0)≈0,9772, logo
P(X>8,0)=1-0,9772=0,0228
Isto é, cerca de 2,28%.

Passo 3

Para a letra (b), queremos P(X<3,0). Padronizando,
z=3,0-5,01,5=-2,01,5=-1,333
Então
P(X<3,0)=Phi(-1,333)
Como Φ(-1,333)=1-Φ(1,333) e Φ(1,333)≈0,9082, temos
P(X<3,0)=1-0,9082=0,0918,
aproximadamente 9,18%.

Passo 4

Para a letra ©, padronizamos para X=9,8:
z=9,8-5,01,5=4,81,5=3,2
A probabilidade P(X>9,8)=1-Φ(3,2). Como Φ(3,2)≈0,9993, isso dá
1-0,9993=0,0007,
valor extremamente pequeno (menos de 0,1%), por isso dizemos que é praticamente zero.

Resposta

a) 2,28% b) 9,18% c) Porque 9,8 está a mais de 3 desvios-padrão acima da média (z=3,2), e a cauda da normal além de 3σ é quase nula (≈0,0007).

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