Suponha que as notas em certa disciplina estão normalmente distribuídas com média 5,0 e desvio padrão 1,5:
a) Determine o percentual de estudantes com nota superior a 8,0;
b) Se a nota mínima para obter aprovação e 3,0, determine o percentual de estudantes reprovados;
c) Explique por que a probabilidade de um estudante dessa população obter nota acima de 9,8 é praticamente zero.
a) Determine o percentual de estudantes com nota superior a 8,0;
b) Se a nota mínima para obter aprovação e 3,0, determine o percentual de estudantes reprovados;
c) Explique por que a probabilidade de um estudante dessa população obter nota acima de 9,8 é praticamente zero.
Passo 1
O enunciado diz que as notas seguem uma distribuição normal com média μ=5,0 e desvio padrão σ=1,5. Precisamos usar a padronização para transformar X∼N(5,1,5) em Z∼N(0,1) e, a partir daí, consultar a tabela da normal padrão (ou função Φ).
Passo 2
Para a letra (a), queremos P(X>8,0). Padronizando, temos
Então
Da tabela da normal padrão Φ(2,0)≈0,9772, logo
Isto é, cerca de 2,28%.
Passo 3
Para a letra (b), queremos P(X<3,0). Padronizando,
Então
Como Φ(-1,333)=1-Φ(1,333) e Φ(1,333)≈0,9082, temos
aproximadamente 9,18%.
Passo 4
Para a letra ©, padronizamos para X=9,8:
A probabilidade P(X>9,8)=1-Φ(3,2). Como Φ(3,2)≈0,9993, isso dá
valor extremamente pequeno (menos de 0,1%), por isso dizemos que é praticamente zero.
Resposta
a) 2,28% b) 9,18% c) Porque 9,8 está a mais de 3 desvios-padrão acima da média (z=3,2), e a cauda da normal além de 3σ é quase nula (≈0,0007).