(Difícil) Uma rifa será realizada para arrecadar fundos para uma instituição beneficente. Se o valor da rifa for de R 26,00, estima-se que serão vendidos 100 números Mas fazendo uma pesquisa, descobriu-se que para cada Rãú1,00 a menos no valor do bilhete, é possível vender 10 bilhetes a mais.
(a) Crie uma planilha com colunas desconto / preço / quantidade / arrecadação e 4 linhas com exemplos numéricos de situações que podem ocorrer. Dica: R 0,00 de desconto, R 1,00 de desconto, …
(b) Crie uma função receita R(p, x)=p cdot x em função de apenas uma variável. Dica: ache a relação entre o preço p e a quantidade x.
(c) Qual deve ser o valor da rifa para que a arrecadação seja a maior possível?

Passo 1

O enunciado diz que, à medida que se reduz em ,R$1 no preço do bilhete, vende-se 10 bilhetes a mais. Começamos com preço inicial de ,p0=26 e quantidade inicial de x0=100. Vamos modelar a receita R=pcdot x, achar a relação entre preço p e quantidade x, montar alguns exemplos numéricos e, por fim, determinar o preço que maximiza R.

Passo 2

Escolhendo descontos d=0,1,2,3 (em reais) temos as seguintes situações:
Desconto d Preço p=26-d Quantidade x=100+10d Arrecadação R=pcdot x
0 26 100 26cdot100=2600
1 25 110 25cdot110=2750
2 24 120 24cdot120=2880
3 23 130 23cdot130=2990

Passo 3

Para eliminar x e ficar só com p, note que
d = 26 - p,
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x = 100 + 10d = 100 + 10(26 - p) = 360 - 10p
Substituindo em R=pcdot x obtenhamos
R(p) = p,(360 - 10p) = 360p - 10p^2

Passo 4

A função R(p)= -10p^2+360p é uma parábola côncava para baixo. Seu vértice, onde R é máxima, ocorre em
p^* = -b2a = -3602cdot(-10) = 18
Verificando, a quantidade vendida será x = 360 -10cdot18 = 180 e a arrecadação máxima
Rmax = 18 cdot 180 = 3240

Resposta

O preço da rifa deve ser R$ 18,00 para que a arrecadação seja máxima.

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