Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se
é uma função crescente e derivável no intervalo fechado
então
é decrescente.
Se
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver ainda):
- Dado:
é uma função crescente e derivável no intervalo fechado . - Definição no enunciado:
. - Pergunta: determinar se a afirmativa “então
é decrescente” é verdadeira ou falsa, justificando.
Observações úteis que extraí do enunciado:
- A hipótese afirma que
é crescente em e que é derivável (portanto contínua em e com derivada bem definida em ). - Preciso comparar a monotonicidade de
com a de .
Passo 2
Primeiro vou fixar definições para não ter confusão (explicando como raciocino):
- Dizemos que
é crescente (no sentido não estrito) em quando, para quaisquer com , vale
- Dizemos que
é decrescente (no sentido não estrito) em quando, para quaisquer com , vale
(Se alguém usar “crescente” ou “decrescente” no sentido estrito, substitui as desigualdades por
e
. Aqui vou trabalhar com o sentido não estrito porque é o mais comum.)
Explicando a ideia intuitiva: trocar
por
inverte sinais, então é natural pensar que se
sobe,
deve descer. Vou mostrar isso de forma rigorosa usando derivadas e também com a própria definição de monotonicidade.
Passo 3
Vou mostrar primeiro uma propriedade chave sobre derivadas de funções crescentes (essa pequena “aula” passo a passo).
Se
é crescente em
e derivável em
, então para todo
temos
Prova desse fato (muito simples e útil na prova):
- Tome
. - Para
pequeno tal que , pela monotonicidade de vem . Então
- Para
pequeno tal que , como e é crescente, temos . Dividindo por inverte o sinal, obtendo novamente
- Como a derivada é o limite desses quocientes quando
, segue que o limite (isto é, ) satisfaz .
Portanto, onde a derivada existe ela não é negativa.
Passo 4
Agora aplico isso a
. Como
, a derivada (onde existe) é
Pelo passo anterior sabemos que
para todo
. Portanto, para todo
,
Passo 5
Uso agora um teorema padrão (que também explico rapidamente): se uma função
é contínua em
, derivável em
e satisfaz
para todo
, então
é decrescente (não crescente) em
.
Pequena demonstração do teorema, por completude:
- Tome
com . Pelo Teorema do Valor Médio existe tal que
- Como
e , o produto é . Logo , ou seja . - Isso é exatamente a definição de
ser decrescente (no sentido não estrito).
No nosso caso todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio se aplicam a
em qualquer subintervalo de
, pois
é contínua em
e derivável em
.
Passo 6
Conclusão lógica das etapas anteriores:
- A hipótese
crescente + derivável implicou para todo . - Assim
para todo . - Pelo argumento com o Teorema do Valor Médio,
é decrescente em .
Portanto a afirmativa é verdadeira.
Comentário adicional (para clarear dúvidas corriqueiras):
- Se “crescente” for entendido estritamente (isto é,
sempre que ), então é estritamente decrescente por definição: para tem e então . - Note também que mesmo se
for estritamente crescente, a derivada pode ser zero em pontos isolados (ex.: é estritamente crescente em e ). Isso não atrapalha a conclusão por definição direta de monotonicidade; o argumento via derivada dá que é não crescente, e a definição original (com desigualdade estrita) garante decrescimento estrito quando parte de estrito.
Resposta
Verdadeira.