Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se f(x) é uma função crescente e derivável no intervalo fechado [a, b] então g(x)=-f(x) é decrescente.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver ainda):
  • Dado: f é uma função crescente e derivável no intervalo fechado [a,b].
  • Definição no enunciado: g(x) = -f(x).
  • Pergunta: determinar se a afirmativa “então g é decrescente” é verdadeira ou falsa, justificando.
Observações úteis que extraí do enunciado:
  • A hipótese afirma que f é crescente em [a,b] e que é derivável (portanto contínua em [a,b] e com derivada bem definida em (a,b)).
  • Preciso comparar a monotonicidade de g com a de f.

Passo 2

Primeiro vou fixar definições para não ter confusão (explicando como raciocino):
  • Dizemos que f é crescente (no sentido não estrito) em [a,b] quando, para quaisquer x,y\in[a,b] com x<y, vale
f(x)\le f(y).
  • Dizemos que g é decrescente (no sentido não estrito) em [a,b] quando, para quaisquer x,y\in[a,b] com x<y, vale
g(x)\ge g(y).
(Se alguém usar “crescente” ou “decrescente” no sentido estrito, substitui as desigualdades por < e >. Aqui vou trabalhar com o sentido não estrito porque é o mais comum.)
Explicando a ideia intuitiva: trocar f por -f inverte sinais, então é natural pensar que se f sobe, -f deve descer. Vou mostrar isso de forma rigorosa usando derivadas e também com a própria definição de monotonicidade.

Passo 3

Vou mostrar primeiro uma propriedade chave sobre derivadas de funções crescentes (essa pequena “aula” passo a passo).
Se f é crescente em [a,b] e derivável em (a,b), então para todo x\in(a,b) temos
f'(x)\ge 0.
Prova desse fato (muito simples e útil na prova):
  • Tome x\in(a,b).
  • Para h>0 pequeno tal que x+h\in(a,b), pela monotonicidade de f vem f(x+h)-f(x)\ge 0. Então
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0 \quad\text{para }h>0.
  • Para h<0 pequeno tal que x+h\in(a,b), como x+h<x e f é crescente, temos f(x+h)-f(x)\le 0. Dividindo por h<0 inverte o sinal, obtendo novamente
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0 \quad\text{para }h<0.
  • Como a derivada é o limite desses quocientes quando h\to 0, segue que o limite (isto é, f'(x)) satisfaz f'(x)\ge 0.
Portanto, onde a derivada existe ela não é negativa.

Passo 4

Agora aplico isso a g. Como g(x)=-f(x), a derivada (onde existe) é
g'(x)= -f'(x).
Pelo passo anterior sabemos que f'(x)\ge 0 para todo x\in(a,b). Portanto, para todo x\in(a,b),
g'(x) = -f'(x)\le 0.

Passo 5

Uso agora um teorema padrão (que também explico rapidamente): se uma função h é contínua em [u,v], derivável em (u,v) e satisfaz h'(t)\le 0 para todo t\in(u,v), então h é decrescente (não crescente) em [u,v].
Pequena demonstração do teorema, por completude:
  • Tome x,y\in[a,b] com x<y. Pelo Teorema do Valor Médio existe c\in(x,y) tal que
g(y)-g(x)=g'\text{(c)}\,(y-x).
  • Como g'\text{(c)}\le 0 e y-x>0, o produto é \le 0. Logo g(y)-g(x)\le 0, ou seja g(y)\le g(x).
  • Isso é exatamente a definição de g ser decrescente (no sentido não estrito).
No nosso caso todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio se aplicam a g em qualquer subintervalo de [a,b], pois g é contínua em [a,b] e derivável em (a,b).

Passo 6

Conclusão lógica das etapas anteriores:
  • A hipótese f crescente + derivável implicou f'(x)\ge 0 para todo x\in(a,b).
  • Assim g'(x)=-f'(x)\le 0 para todo x\in(a,b).
  • Pelo argumento com o Teorema do Valor Médio, g é decrescente em [a,b].
Portanto a afirmativa é verdadeira.
Comentário adicional (para clarear dúvidas corriqueiras):
  • Se “crescente” for entendido estritamente (isto é, f(x)<f(y) sempre que x<y), então g é estritamente decrescente por definição: para x<y tem f(x)<f(y) e então -f(x)>-f(y).
  • Note também que mesmo se f for estritamente crescente, a derivada pode ser zero em pontos isolados (ex.: f(x)=x^3 é estritamente crescente em \mathbb{R} e f'(0)=0). Isso não atrapalha a conclusão por definição direta de monotonicidade; o argumento via derivada dá que g é não crescente, e a definição original (com desigualdade estrita) garante decrescimento estrito quando parte de estrito.

Resposta

Verdadeira.

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