Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se f(x)=x^{n}, com n um inteiro positivo ímpar, então f(x) não possui pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{n}, onde n é um inteiro positivo ímpar, definida em \mathbb{R}. A pergunta é: a afirmativa “então f(x) não possui pontos de máximo e mínimo locais” é verdadeira ou falsa? Deve-se justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente o que é um ponto de máximo ou mínimo local (definição):
  • Diz-se que x_0 é um ponto de máximo local de f se existe um intervalo aberto I contendo x_0 tal que, para todo x\in I, tem-se f(x)\le f(x_0).
  • Diz-se que x_0 é um ponto de mínimo local de f se existe um intervalo aberto I contendo x_0 tal que, para todo x\in I, tem-se f(x)\ge f(x_0).
    Intuitivamente: num máximo local a função sobe até x_0 e depois desce; num mínimo local ela desce até x_0 e depois sobe.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f. Pela regra do poder (power rule), a derivada de x^{n} é
f'(x)=n x^{\,n-1}.
Aqui n é um inteiro positivo ímpar, então n>0 e n-1 é par.

Passo 4

Analisando o sinal de f'(x):
  • Como n-1 é par, x^{\,n-1}=(|x|)^{\,n-1}\ge 0 para todo x.
  • Portanto f'(x)=n x^{\,n-1}=n(|x|)^{\,n-1}\ge 0 para todo x.
  • Para x\neq 0 temos (|x|)^{\,n-1}>0, logo f'(x)>0 sempre que x\neq 0.
    Isso mostra que a derivada é positiva em todo ponto exceto em x=0, onde f'(0)=0.

Passo 5

Interpretação: se f'(x)>0 em um intervalo então f é estritamente crescente naquele intervalo. Como f'(x)>0 para todo x\neq 0, a função f é estritamente crescente em (-\infty,0) e também em (0,\infty). Em intervalos onde a função é estritamente crescente não pode haver máximo ou mínimo locais interiores (porque subir monotonamente não cria um pico nem um vale).
Resta analisar x=0. Mesmo que f'(0)=0, isso não garante um extremo. Para ver que 0 não é máximo nem mínimo local, tome qualquer \varepsilon>0 pequeno. Então
f(-\varepsilon)=(-\varepsilon)^{n}=-\varepsilon^{n}<0<f(\varepsilon)=\varepsilon^{n}.
Assim, em qualquer vizinhança de 0 há pontos em que a função assume valores menores que f(0)=0 (por exemplo x=-\varepsilon) e pontos em que assume valores maiores que f(0) (por exemplo x=\varepsilon). Logo 0 não pode ser nem máximo nem mínimo local: é um ponto de inflexão (para n\ge 3) ou simplesmente um ponto regular sem extremo (para n=1 trivially).

Passo 6

Como não existe nenhum x\in\mathbb{R} que seja ponto de máximo ou mínimo local (para x\neq 0 a função é estritamente crescente nas vizinhanças; em x=0 há pontos à esquerda menores e à direita maiores), concluímos que a afirmativa é verdadeira.
Um exemplo concreto para intuir: para n=3 tem-se f(x)=x^{3}. O gráfico sobe continuamente da esquerda para a direita, passa por (0,0) sem formar pico nem vale, portanto nenhum ponto é máximo ou mínimo local.

Resposta

Verdadeira.

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