Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se
, com
um inteiro positivo ímpar, então
não possui pontos de máximo e mínimo locais.
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
, onde
é um inteiro positivo ímpar, definida em
. A pergunta é: a afirmativa “então
não possui pontos de máximo e mínimo locais” é verdadeira ou falsa? Deve-se justificar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente o que é um ponto de máximo ou mínimo local (definição):
- Diz-se que
é um ponto de máximo local de se existe um intervalo aberto contendo tal que, para todo , tem-se . - Diz-se que
é um ponto de mínimo local de se existe um intervalo aberto contendo tal que, para todo , tem-se .
Intuitivamente: num máximo local a função sobe atée depois desce; num mínimo local ela desce até e depois sobe.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Pela regra do poder (power rule), a derivada de
é
Aqui
é um inteiro positivo ímpar, então
e
é par.
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Como
é par, para todo . - Portanto
para todo . - Para
temos , logo sempre que .
Isso mostra que a derivada é positiva em todo ponto exceto em, onde .
Passo 5
Interpretação: se
em um intervalo então
é estritamente crescente naquele intervalo. Como
para todo
, a função
é estritamente crescente em
e também em
. Em intervalos onde a função é estritamente crescente não pode haver máximo ou mínimo locais interiores (porque subir monotonamente não cria um pico nem um vale).
Resta analisar
. Mesmo que
, isso não garante um extremo. Para ver que
não é máximo nem mínimo local, tome qualquer
pequeno. Então
Assim, em qualquer vizinhança de
há pontos em que a função assume valores menores que
(por exemplo
) e pontos em que assume valores maiores que
(por exemplo
). Logo
não pode ser nem máximo nem mínimo local: é um ponto de inflexão (para
) ou simplesmente um ponto regular sem extremo (para
trivially).
Passo 6
Como não existe nenhum
que seja ponto de máximo ou mínimo local (para
a função é estritamente crescente nas vizinhanças; em
há pontos à esquerda menores e à direita maiores), concluímos que a afirmativa é verdadeira.
Um exemplo concreto para intuir: para
tem-se
. O gráfico sobe continuamente da esquerda para a direita, passa por
sem formar pico nem vale, portanto nenhum ponto é máximo ou mínimo local.
Resposta
Verdadeira.