Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função f(x) é derivável no intervalo fechado [a, b] e f^{\prime}(a) f^{\prime}(b)>0, então existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a, b) tal que f^{\prime}\text{(c)}=0.

Passo 1

O enunciado dá uma função f que é diferenciável no intervalo fechado [a,b] e afirma que f^{\prime}(a)f^{\prime}(b)>0. A pergunta é: essa condição implica que exista pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f^{\prime}\text{(c)}=0? Ou seja, devo decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Vamos lembrar dois teoremas clássicos que costumam aparecer aqui (só para comparar com a afirmativa):
  • Teorema de Rolle: Se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0.
  • Teorema do Valor Médio (MVT): Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Observe que nenhum desses resultados afirma algo do tipo "se f'(a)f'(b)>0 então existe c com f'\text{(c)}=0". Em particular, Rolle exige f(a)=f(b) (iguais nos extremos), não exige informação sobre os sinais de f' nos extremos.

Passo 3

Para testar a afirmativa, é natural procurar um contraexemplo simples (se existe um contraexemplo, a afirmativa é falsa). Acho um candidato bem óbvio: uma função linear estritamente crescente, por exemplo
f(x)=x,\quad \text{no intervalo}\\ [0,1].
Essa função é diferenciável em todo [0,1] (a derivada existe em todos os pontos, inclusive nos extremos, no sentido usual).

Passo 4

Calcule a derivada:
f'(x)=1\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Logo
f'(0)=1,\qquad f'(1)=1,
e portanto
f'(0)f'(1)=1\cdot 1=1>0.
No entanto, para todo x\in(0,1) temos f'(x)=1\neq 0. Ou seja, NÃO existe nenhum c\in(0,1) tal que f'\text{(c)}=0.
Esse é um contraexemplo válido: satisfaz as hipóteses (diferenciável em [0,1] e produto das derivadas nos extremos positivo) e viola a conclusão. Portanto a afirmativa é falsa.

Passo 5

Intuição curta e final: ter f'(a) e f'(b) com o mesmo sinal apenas diz que, nas vizinhanças imediatas de a e de b, a função está variando no mesmo sentido (por exemplo, crescente em ambas as bordas). Mas não há qualquer garantia de que a derivada deva anular-se no interior — a função pode ser monotonicamente crescente em todo o intervalo (como no exemplo f(x)=x), mantendo derivada positiva sempre.

Resposta

Falsa.

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