Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função
é derivável no intervalo fechado
e
, então existe pelo menos um número
no intervalo aberto
tal que
.
Se uma função
Passo 1
O enunciado dá uma função
que é diferenciável no intervalo fechado
e afirma que
. A pergunta é: essa condição implica que exista pelo menos um ponto
tal que
? Ou seja, devo decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar.
Passo 2
Vamos lembrar dois teoremas clássicos que costumam aparecer aqui (só para comparar com a afirmativa):
- Teorema de Rolle: Se
é contínua em , diferenciável em e , então existe com . - Teorema do Valor Médio (MVT): Se
é contínua em e diferenciável em , então existe tal que .
Observe que nenhum desses resultados afirma algo do tipo "se
então existe
com
". Em particular, Rolle exige
(iguais nos extremos), não exige informação sobre os sinais de
nos extremos.
Passo 3
Para testar a afirmativa, é natural procurar um contraexemplo simples (se existe um contraexemplo, a afirmativa é falsa). Acho um candidato bem óbvio: uma função linear estritamente crescente, por exemplo
Essa função é diferenciável em todo
(a derivada existe em todos os pontos, inclusive nos extremos, no sentido usual).
Passo 4
Calcule a derivada:
Logo
e portanto
No entanto, para todo
temos
. Ou seja, NÃO existe nenhum
tal que
.
Esse é um contraexemplo válido: satisfaz as hipóteses (diferenciável em
e produto das derivadas nos extremos positivo) e viola a conclusão. Portanto a afirmativa é falsa.
Passo 5
Intuição curta e final: ter
e
com o mesmo sinal apenas diz que, nas vizinhanças imediatas de
e de
, a função está variando no mesmo sentido (por exemplo, crescente em ambas as bordas). Mas não há qualquer garantia de que a derivada deva anular-se no interior — a função pode ser monotonicamente crescente em todo o intervalo (como no exemplo
), mantendo derivada positiva sempre.
Resposta
Falsa.