(Teste da derivada primeira) Para cada um das funções a seguir:
a) f(x)=x^{3}+x^{2}-x.
b) g(x)=2 \cos \left(\frac{x}{4}\right).
c) h(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}.
d) f(x)=\frac{x-4}{x+4}.
e) g(x)=3 x \sqrt{2-x}.
f) h(x)=x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1.
g) f(x)=(x+1)^{2 / 3}(x-2)^{1 / 3}.
h) g(x)=\frac{1}{4} \operatorname{sec} (2 x).
i) h(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+9 \text { se } x \leq-2 \\\ x^{2}+1 \text { se } x>-2\end{array}\right..
j) f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x+5 \text { se } x<-1 \\\ x^{2}+1 \text { se }-1 \leq x<2 \\\\ 7-x \text { se } x \geq 2\end{array}\right..
k) g(x)=x^{2} \ln (x).
l) h(x)=x^{2} \ln \left(\frac{1}{x}\right).
i) Encontre os pontos críticos.
ii) Determine os intervalos onde as funções são crescentes.
iii) Determine os intervalos onde as funções são decrescentes.
iv) Encontre os máximos e mínimos locais se existirem.

Passo 1

O enunciado pede, para cada função listada de (a) até (l), as quatro tarefas:
i) Encontrar os pontos críticos (ou seja, onde a derivada é zero ou não existe, desde que o ponto esteja no domínio).
ii) Determinar os intervalos onde a função é crescente.
iii) Determinar os intervalos onde a função é decrescente.
iv) Identificar os máximos e mínimos locais (se existirem) e indicar o ponto e o valor.
As funções e seus domínios são (declarei o domínio quando não for todo \mathbb{R}\)): a) \(\;f(x)=x^{3}+x^{2}-x\) \(\;(\text{domínio } \mathbb{R})\). b) \(\;g(x)=2\cos\!\left(\dfrac{x}{4}\right)\) \(\;(\text{domínio } \mathbb{R})\). c) \(\;h(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(\;(\text{domínio } x>0)\). d) \(\;f(x)=\dfrac{x-4}{x+4}\) \(\;(\text{domínio } x\neq -4)\). e) \(\;g(x)=3x\sqrt{2-x}\) \(\;(\text{domínio } x\le 2)\). f) \(\;h(x)=x^{2/3}-x^{1/3}+1\) \(\;(\text{domínio } \mathbb{R})\) (raízes cúbicas definidas para todos os \(x\)). g) \(\;f(x)=(x+1)^{2/3}(x-2)^{1/3}\) \(\;(\text{domínio } \mathbb{R})\). h) \(\;g(x)=\dfrac{1}{4}\operatorname{sec}(2x)\) \(\;(\text{domínio } x \neq \tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z})\). i) \(\;h(x)=\begin{cases}2x+9,&x\le -2,\\\ x^{2}+1,&x>-2.\end{cases}
j) \;f(x)=\begin{cases}3x+5,&x<-1,\\\ x^{2}+1,&-1\le x<2,\\\\ 7-x,&x\ge 2.\end{cases}
k) \;g(x)=x^{2}\ln x \;(\text{domínio } x>0)í.
l) \;h(x)=x^{2}\ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) \;(\text{domínio } x>0)í.
Agora vou, função por função, calcular a derivada com explicação das regras usadas, achar pontos críticos, estudar o sinal da derivada para monotonicidade e concluir sobre extremos locais.

Passo 2

Função (a) \;f(x)=x^{3}+x^{2}-x.
Cálculo da derivada (regra da soma e regra potência): derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
f'(x)=3x^{2}+2x-1.
Pontos críticos: resolver f'(x)=0.
3x^{2}+2x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}=\frac{-2\pm4}{6}.
Portanto x=-1 e x=\tfrac{1}{3}. Derivada existe para todo x, então só esses são críticos.
Sinal de f': é um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} positivo (abre para cima). Testando intervalos:
  • Para x<-1 (ex.: x=-2), f'>0.
  • Para -1<x<\tfrac{1}{3} (ex.: x=0), f'<0.
  • Para x>\tfrac{1}{3} (ex.: x=1), f'>0.
Conclusões:
  • Crescente em (-\infty,-1)\cup\left(\tfrac{1}{3},\infty\right).
  • Decrescente em \left(-1,\tfrac{1}{3}\right).
  • Mudança +\to- em x=-1 ⇒ máximo local em x=-1 com f(-1)=1.
  • Mudança -\to+ em x=\tfrac{1}{3} ⇒ mínimo local em x=\tfrac{1}{3} com f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{5}{27}.

Passo 3

Função (b) \;g(x)=2\cos\!\left(\dfrac{x}{4}\right).
Derivada (regra da cadeia: (\cos u)'=-\sin u\cdot u'):
g'(x)=2\cdot\big(-\sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right)\big)\cdot\big(\tfrac{1}{4}\big)=-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right).
Pontos críticos: resolver g'(x)=0\Rightarrow \sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right)=0\Rightarrow \tfrac{x}{4}=k\pi\Rightarrow x=4k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}. Derivada existe sempre.
Sinal de g': depende do sinal de \sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right). Como g'(x)=-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right),
  • quando \sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right)>0 (intervalos \tfrac{x}{4}\in(2m\pi,\,(2m+1)\pi)), temos g'<0 (decrescente);
  • quando \sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right)<0 (intervalos \tfrac{x}{4}\in((2m+1)\pi,\,(2m+2)\pi)), temos g'>0 (crescente).
Mais organizado: para cada inteiro k,
  • em \big(4k\pi,\\\ 4(k+1)\pi\big) a função é decrescente se k é par e crescente se k é ímpar (padrão alternado).
    Extremos locais: em x=4k\pi há alternância de máximo e mínimo:
  • para k par: g muda de crescente para decrescente ⇒ máximo local em x=4k\pi com g(4k\pi)=2\cos(k\pi)=2(-1)^{k} (para k par, =2);
  • para k ímpar: mínimo local com valor -2.

Passo 4

Função (c) \;h(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{1/2}-x^{-1/2}, domínio x>0.
Derivada (power rule):
h'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}+\tfrac{1}{2}x^{-3/2}=\tfrac{1}{2}\big(x^{-1/2}+x^{-3/2}\big)=\tfrac{1}{2}x^{-3/2}(x+1).
Para x>0, x^{-3/2}>0 e x+1>0, logo h'(x)>0 x>0.
Conclusões:
  • Nenhum ponto onde h'(x)=0 no domínio; derivada não existe em x=0 mas x=0 não pertence ao domínio.
  • Crescente em (0,\infty).
  • Não há máximos ou mínimos locais (nenhuma mudança de sinal da derivada dentro do domínio).

Passo 5

Função (d) \;f(x)=\dfrac{x-4}{x+4}, domínio x\neq -4.
Derivada (regra do quociente: \big(\tfrac{u}{v}\big)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}}):
f'(x)=\frac{(1)(x+4)-(x-4)(1)}{(x+4)^{2}}=\frac{x+4-x+4}{(x+4)^{2}}=\frac{8}{(x+4)^{2}}.
Para todo x\neq-4, (x+4)^{2}>0 f'(x)>0. Em x=-4 a função não está definida.
Conclusões:
  • Não há pontos com f'(x)=0. O único ponto onde a derivada não existe é x=-4, mas também não faz parte do domínio.
  • Crescente em (-\infty,-4) e em (-4,\infty).
  • Sem máximos/minimos locais dentro do domínio.

Passo 6

Função (e) \;g(x)=3x\sqrt{2-x}=3x(2-x)^{1/2}, domínio x\le 2.
Derivada (produto + cadeia):
g'(x)=3\Big((2-x)^{1/2}+x\cdot\tfrac{1}{2}(2-x)^{-1/2}\cdot(-1)\Big) =3\Big((2-x)^{1/2}-\tfrac{x}{2}(2-x)^{-1/2}\Big).
Fatorando:
g'(x)=\tfrac{3}{2}(2-x)^{-1/2}(4-3x).
Pontos críticos: solução de g'(x)=0 com x\le 2 é 4-3x=0\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}, que pertence ao domínio. A derivada é indefinida em x=2 porque aparece (2-x)^{-1/2}\to\infty — mas x=2 é ponto de fronteira do domínio (endpoint).
Sinal de g' (para x<2, (2-x)^{-1/2}>0):
  • g'>0 se 4-3x>0\Rightarrow x<\tfrac{4}{3}.
  • g'<0 se x>\tfrac{4}{3} (até 2).
Conclusões:
  • Crescente em (-\infty,\tfrac{4}{3}).
  • Decrescente em \big(\tfrac{4}{3},2\big).
  • Em x=\tfrac{4}{3} há mudança +\to- ⇒ máximo local em x=\tfrac{4}{3} com valor
g\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=3\cdot\tfrac{4}{3}\sqrt{2-\tfrac{4}{3}}=4\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
  • No ponto de fronteira x=2 a função vale 0 e, como à esquerda a função está decrescendo até 0, x=2 é um mínimo relativo em sentido de extremo em fronteira (valor menor que pontos imediatamente à esquerda).

Passo 7

Função (f) \;h(x)=x^{2/3}-x^{1/3}+1, domínio \mathbb{R}.
Derivada (power rule com expoentes fracionários):
h'(x)=\tfrac{2}{3}x^{-1/3}-\tfrac{1}{3}x^{-2/3}.
Colocando em fator comum \tfrac{1}{3}x^{-2/3}:
h'(x)=\tfrac{1}{3}x^{-2/3}\big(2x^{1/3}-1\big).
Pontos críticos:
  • h'(x)=0 2x^{1/3}-1=0\Rightarrow x^{1/3}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=\tfrac{1}{8}.
  • h' não existe em x=0 (o fator x^{-2/3} diverge) e x=0 pertence ao domínio ⇒ x=0 também é ponto crítico (derivada indefinida).
Sinal de h': observe que x^{-2/3}>0 para x\neq 0 (mesmo para x<0, x^{-2/3}=(\text{cúbica})^{-2}ú é positivo). Assim o sinal de h' é o sinal de 2x^{1/3}-1:
  • Para x<0: x^{1/3}<0 2x^{1/3}-1<0 h'<0.
  • Para 0<x<\tfrac{1}{8}: x^{1/3}\in(0,\tfrac{1}{2}) h'<0.
  • Para x>\tfrac{1}{8}: h'>0.
Conclusões:
  • Decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{8}) (observe que em 0 há derivada indefinida, mas o sinal não muda ali).
  • Crescente em \left(\tfrac{1}{8},\infty\right).
  • Em x=\tfrac{1}{8} há mudança -\to+ ⇒ mínimo local com
h\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=\left(\tfrac{1}{8}\right)^{2/3}-\left(\tfrac{1}{8}\right)^{1/3}+1=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{4}.
  • O ponto x=0 é crítico (derivada indefinida) mas não é extremum, porque o sinal de h' não muda de negativo para positivo nem vice-versa em 0.

Passo 8

Função (g) \;f(x)=(x+1)^{2/3}(x-2)^{1/3}, domínio \mathbb{R}.
Derivada (produto + regras de potência): coloque u=(x+1)^{2/3}, v=(x-2)^{1/3}, então
u'=\tfrac{2}{3}(x+1)^{-1/3},\qquad v'=\tfrac{1}{3}(x-2)^{-2/3}.
Produto:
f'(x)=u'v+uv'=\tfrac{2}{3}(x+1)^{-1/3}(x-2)^{1/3}+\tfrac{1}{3}(x+1)^{2/3}(x-2)^{-2/3}.
Fatorando \tfrac{1}{3}(x+1)^{-1/3}(x-2)^{-2/3}:
f'(x)=\tfrac{1}{3}(x+1)^{-1/3}(x-2)^{-2/3}\big(2(x-2)+(x+1)\big) =(x+1)^{-1/3}(x-2)^{-2/3}(x-1).
Pontos críticos: zeros e onde derivada não existe:
  • f'(x)=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1.
  • Derivada indefinida em x=-1 (por (x+1)^{-1/3}) e em x=2 (por (x-2)^{-2/3}). Ambos pertencem ao domínio, portanto são pontos críticos também.
Sinal de f': note que (x-2)^{-2/3}>0 para x\neq 2. O fator (x+1)^{-1/3} tem o mesmo sinal de x+1 (porque raiz cúbica preserva o sinal e potência ímpar no denominador só inverte magnitude). Então o sinal de f' é o sinal de (x-1)(x+1):
  • f'>0 quando (x-1)(x+1)>0 x<-1 ou x>1.
  • f'<0 quando -1<x<1.
Conclusões de monotonicidade (respeitando pontos onde derivada não existe):
  • Crescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty) (com divisão em (1,2) e (2,\infty) por causa de x=2 onde a derivada não existe).
  • Decrescente em (-1,1).
Extremos:
  • Em x=-1: a função passa de crescente (à esquerda) para decrescente (à direita) ⇒ x=-1 é máximo local. Valor f(-1)=0 (porque fator (x+1)^{2/3}=0).
  • Em x=1: a derivada muda de negativa para positiva ⇒ mínimo local em x=1. Valor f(1)=(2)^{2/3}(-1)^{1/3}=(2)^{2/3}(-1)=-2^{2/3}.
  • Em x=2: derivada indefinida mas não ocorre mudança de sinal (antes e depois de 2 o sinal de f' é positivo), portanto x=2 não é extremo local (é ponto onde a função cruza zero: f(2)=0).

Passo 9

Função (h) \;g(x)=\dfrac{1}{4}\operatorname{sec}(2x), domínio x\neq \tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}.
Derivada (sabendo (\operatorname{sec} u)'=\operatorname{sec} u\tan u e regra da cadeia):
g'(x)=\tfrac{1}{4}\cdot\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\cdot 2=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).
Reescrevendo para estudar sinal (útil): \operatorname{sec}(2x)\tan(2x)=\dfrac{\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)}. Como \cos^{2}(2x)>0 sempre nos pontos onde a função existe, o sinal de g' é o sinal de \sin(2x).
Pontos críticos onde g'(x)=0: \sin(2x)=0\Rightarrow 2x=k\pi\Rightarrow x=\tfrac{k\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z}. Pontos onde derivada não existe: x=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2} (pontos fora do domínio).
Sinal e monotonicidade:
  • g'(x)>0 (crescente) quando \sin(2x)>0, i.e. 2x\in(2m\pi,\\ (2m+1)\pi)\Rightarrow x\in\big(m\pi,\\ m\pi+\tfrac{\pi}{2}\big).
  • g'(x)<0 (decrescente) quando \sin(2x)<0, i.e. x\in\big(m\pi+\tfrac{\pi}{2},\\ (m+1)\pi\big).
Extremos: em x=\tfrac{k\pi}{2} a derivada muda de sinal alternadamente:
  • se a derivada muda de - para + então é mínimo local; se muda de + para - é máximo local. Concretamente, x=k\pi (k par) são mínimos locais e x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (k inteiro) são máximos locais, com valores g(k\pi)=\tfrac{1}{4} ou -\tfrac{1}{4} alternando conforme k.

Passo 10

Função (i) \;h(x)=\begin{cases}2x+9,&x\le -2,\\\ x^{2}+1,&x>-2.\end{cases}
Derivadas das peças:
  • Para x<-2: h'(x)=2.
  • Para x>-2: h'(x)=2x.
Continuidade em x=-2? h(-2)=2(-2)+9=5 e \lim_{x\to-2^{+}} x^{2}+1=4+1=5. A função é contínua em -2, mas a derivada lateral é:
  • derivada à esquerda em -2: 2.
  • derivada à direita em -2: 2(-2)=-4.
    Como as derivadas laterais são diferentes, h' não existe em x=-2 ⇒ ponto crítico.
Também em x> -2 temos outro ponto crítico se 2x=0\Rightarrow x=0 (pertence à parte direita).
Sinal e monotonicidade:
  • Em (-\infty,-2): h'(x)=2>0 ⇒ crescente.
  • Em (-2,0): h'(x)=2x<0 ⇒ decrescente.
  • Em (0,\infty): h'(x)=2x>0 ⇒ crescente.
Extremos:
  • Em x=-2: à esquerda cresce até o ponto e à direita decresce ⇒ máximo local em x=-2 com h(-2)=5.
  • Em x=0: muda de decrescente para crescente ⇒ mínimo local em x=0 com h(0)=1.

Passo 11

Função (j) \;f(x)=\begin{cases}3x+5,&x<-1,\\\ x^{2}+1,&-1\le x<2,\\\\ 7-x,&x\ge 2.\end{cases}
Derivadas por ramo:
  • x<-1:\\ f'(x)=3.
  • -1<x<2:\\ f'(x)=2x.
  • x>2:\\ f'(x)=-1.
Continuidade nas fronteiras:
  • Em x=-1: 3(-1)+5=2 e (-1)^{2}+1=2 ⇒ contínua; derivadas laterais: esquerda =3, direita =2(-1)=-2 ⇒ derivada não existe em -1 ⇒ ponto crítico.
  • Em x=2: da esquerda 2^{2}+1=5, da direita 7-2=5 ⇒ contínua; derivadas laterais: esquerda 2\cdot2=4, direita -1 ⇒ derivada não existe em 2 ⇒ ponto crítico.
Também interiormente no ramo do meio, 2x=0\Rightarrow x=0 (com -1\le 0<2) é ponto crítico.
Monotonicidade por intervalos:
  • (-\infty,-1): f'=3>0 ⇒ crescente.
  • (-1,0): f'=2x<0 ⇒ decrescente.
  • (0,2): f'=2x>0 ⇒ crescente.
  • (2,\infty): f'=-1<0 ⇒ decrescente.
Extremos:
  • Em x=-1: cresce antes e decresce depois ⇒ máximo local em x=-1 com f(-1)=2.
  • Em x=0: decresce antes e cresce depois ⇒ mínimo local em x=0 com f(0)=1.
  • Em x=2: cresce antes e decresce depois ⇒ máximo local em x=2 com f(2)=5.

Passo 12

Função (k) \;g(x)=x^{2}\ln x, domínio x>0.
Derivada (produto + derivada de \ln x):
g'(x)=2x\ln x + x^{2}\cdot\tfrac{1}{x}=2x\ln x + x = x(2\ln x +1).
Pontos críticos: g'(x)=0 com x>0 x(2\ln x +1)=0. Como x=0 não pertence ao domínio, procuramos 2\ln x +1=0\Rightarrow \ln x=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=e^{-1/2}.
Sinal de g':
  • Para 0<x<e^{-1/2}: \ln x<-\tfrac{1}{2} 2\ln x+1<0 g'<0 ⇒ decrescente.
  • Para x>e^{-1/2}: g'>0 ⇒ crescente.
Conclusão: x=e^{-1/2} é mínimo local. Valor
g\!\big(e^{-1/2}\big)=\big(e^{-1/2}\big)^{2}\ln\big(e^{-1/2}\big)=e^{-1}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-\tfrac{1}{2e}.

Passo 13

Função (l) \;h(x)=x^{2}\ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right), domínio x>0.
Observação útil: \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x. Assim
h(x)=-x^{2}\ln x.
Derivada:
h'(x)=-\big(2x\ln x + x\big)=-x(2\ln x +1).
Pontos críticos: resolver h'(x)=0\Rightarrow -x(2\ln x+1)=0. Com x>0, obtemos 2\ln x+1=0\Rightarrow x=e^{-1/2} (mesmo ponto que em (k)).
Sinal de h':
  • Para 0<x<e^{-1/2}: 2\ln x+1<0 x(2\ln x+1)<0 h' = -(\cdot) >0 ⇒ crescente.
  • Para x>e^{-1/2}: h'<0 ⇒ decrescente.
Conclusão: x=e^{-1/2} é máximo local. Valor
h\!\big(e^{-1/2}\big)=-\big(e^{-1/2}\big)^{2}\ln\big(e^{-1/2}\big)=-e^{-1}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{2e}.

Resposta

a) i) Pontos críticos: x=-1,\\ x=\tfrac{1}{3}.
ii) Crescente em (-\infty,-1)\cup\left(\tfrac{1}{3},\infty\right).
iii) Decrescente em \left(-1,\tfrac{1}{3}\right).
iv) Máximo local em x=-1 com f(-1)=1. Mínimo local em x=\tfrac{1}{3} com f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{5}{27}.
b) i) Pontos críticos: x=4k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
ii) Crescente quando \sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right)<0 (intervalos alternados descritos em texto).
iii) Decrescente quando \sin\!\left(\tfrac{x}{4}\right)>0.
iv) Em x=4k\pi há máximos locais para k par (valor 2) e mínimos locais para k ímpar (valor -2).
c) i) Pontos críticos: nenhum (derivada >0 em todo o domínio x>0).
ii) Crescente em (0,\infty).
iii) Decrescente: nenhum.
iv) Não há máximos ou mínimos locais no domínio.
d) i) Pontos críticos: nenhum (derivada =\tfrac{8}{(x+4)^{2}}>0 para x\neq-4; x=-4 não pertence ao domínio).
ii) Crescente em (-\infty,-4)\cup(-4,\infty).
iii) Decrescente: nenhum.
iv) Não há máximos/minimos locais.
e) i) Pontos críticos: x=\tfrac{4}{3} (onde g'=0); x=2 é ponto onde derivada não existe (fronteira do domínio).
ii) Crescente em (-\infty,\tfrac{4}{3}).
iii) Decrescente em \big(\tfrac{4}{3},2\big).
iv) Máximo local em x=\tfrac{4}{3} com g\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=4\sqrt{\tfrac{2}{3}}. Em x=2 há mínimo em fronteira com valor 0.
f) i) Pontos críticos: x=\tfrac{1}{8} (onde h'=0) e x=0 (derivada indefinida).
ii) Crescente em \left(\tfrac{1}{8},\infty\right).
iii) Decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{8}).
iv) Mínimo local em x=\tfrac{1}{8} com h\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=\tfrac{3}{4}. x=0 é crítico (derivada indefinida) mas não é extremum.
g) i) Pontos críticos: x=1 (onde f'=0), e x=-1,\\ x=2 (onde f' não existe).
ii) Crescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty) (com divisão em (1,2) e (2,\infty) por causa de x=2).
iii) Decrescente em (-1,1).
iv) Máximo local em x=-1 com f(-1)=0. Mínimo local em x=1 com f(1)=-2^{2/3}. x=2 não é extremo local.
h) i) Pontos críticos: x=\tfrac{k\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z} (onde g'=0); derivada não existe em x=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}.
ii) Crescente onde \sin(2x)>0 (intervalos x\in(m\pi,\\ m\pi+\tfrac{\pi}{2})).
iii) Decrescente onde \sin(2x)<0 (intervalos x\in(m\pi+\tfrac{\pi}{2},(m+1)\pi)).
iv) Em x=\tfrac{k\pi}{2} há máximos e mínimos alternados (valores \pm\tfrac{1}{4}, conforme k).
i) i) Pontos críticos: x=-2 (derivada não existe), x=0 (onde h'(0)=0 do ramo direito).
ii) Crescente em (-\infty,-2] e em (0,\infty).
iii) Decrescente em (-2,0).
iv) Máximo local em x=-2 com h(-2)=5. Mínimo local em x=0 com h(0)=1.
j) i) Pontos críticos: x=-1 (derivada não existe), x=0 (onde f'=0 no ramo do meio), x=2 (derivada não existe).
ii) Crescente em (-\infty,-1) e em (0,2).
iii) Decrescente em (-1,0) e em (2,\infty).
iv) Máximo local em x=-1 com f(-1)=2. Mínimo local em x=0 com f(0)=1. Máximo local em x=2 com f(2)=5.
k) i) Pontos críticos: x=e^{-1/2}.
ii) Crescente em \big(e^{-1/2},\infty\big).
iii) Decrescente em (0,e^{-1/2}).
iv) Mínimo local em x=e^{-1/2} com g\!\big(e^{-1/2}\big)=-\dfrac{1}{2e}.
l) i) Pontos críticos: x=e^{-1/2}.
ii) Crescente em (0,e^{-1/2}).
iii) Decrescente em \big(e^{-1/2},\infty\big).
iv) Máximo local em x=e^{-1/2} com h\!\big(e^{-1/2}\big)=\dfrac{1}{2e}.

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