a. Faça a tabela de multiplicação do grupo D4
b. Determine os subgrupos cíclicos. Quantos são eles?
c. Determine a ordem e o inverso de cada elemento de D4.

Passo 1

O exercício pede pra gente trabalhar com o grupo dihedral de ordem 8, chamado D₄, que é o grupo das simetrias de um quadrado. Vamos precisar lembrar que em D₄ temos as rotações r de 90° em torno do centro e as reflexões s em relação a um eixo, e que valem as relações r⁴ = e, s² = e e sr = r³s. Com isso na mão, a gente monta a tabela de multiplicação, acha todos os subgrupos gerados por cada elemento (os cíclicos) e depois calcula a ordem e o inverso de cada um.

Passo 2

Pra montar a tabela de multiplicação, primeiro listamos os elementos na ordem e, r, r², r³, s, rs, r²s, r³s. Depois usamos as regras do grupo: rᵏ·rᶫ = rᵏ⁺ˡ (mod 4), s·r = r³·s, e s·s = e. Aplicando sistematicamente a cada par de elementos, obtemos a tabela abaixo:
c|cccccccc & e & r & r^2 & r^3 & s & rs & r^2s & r^3s hline e & e & r & r^2 & r^3 & s & rs & r^2s & r^3s r & r & r^2 & r^3 & e & rs & r^2s & r^3s & s r^2 & r^2 & r^3 & e & r & r^2s & r^3s & s & rs r^3 & r^3 & e & r & r^2 & r^3s & s & rs & r^2s s & s & r^3s & r^2s & rs & e & r^3 & r^2 & r rs & rs & s & r^3s & r^2s & r & e & r^3 & r^2 r^2s & r^2s & rs & s & r^3s & r^2 & r & e & r^3 r^3s & r^3s & r^2s & rs & s & r^3 & r^2 & r & e

Passo 3

Um subgrupo cíclico é o conjunto ⟨g⟩ = {e, g, g², …} até voltar em e. Calculamos a ordem de cada elemento e listamos:
  • ⟨e⟩ = {e}
  • ⟨r⟩ = {e, r, r², r³} (ordem 4)
  • ⟨r²⟩ = {e, r²} (ordem 2)
  • ⟨r³⟩ = ⟨r⟩ (não é novo)
  • Para cada reflexão x ∈ {s, rs, r²s, r³s}, temos ⟨x⟩ = {e, x} (ordem 2).
    Sobram então 1 trivial + 1 de ordem 4 + 1 de ordem 2 (r²) + 4 de cada reflexão = 7 subgrupos cíclicos distintos.

Passo 4

A ordem de um elemento g é o menor n>0 tal que gⁿ = e, e o inverso g⁻¹ é quem multiplica g pra dar e. Usando as relações:
  • e: ordem 1, e⁻¹ = e
  • r: ordem 4, r⁻¹ = r³
  • r²: ordem 2, (r²)⁻¹ = r²
  • r³: ordem 4, (r³)⁻¹ = r
  • s: ordem 2, s⁻¹ = s
  • rs: ordem 2, (rs)⁻¹ = rs
  • r²s: ordem 2, (r²s)⁻¹ = r²s
  • r³s: ordem 2, (r³s)⁻¹ = r³s

Resposta

a) A tabela de multiplicação de D₄ é
c|cccccccc & e & r & r^2 & r^3 & s & rs & r^2s & r^3s hline e & e & r & r^2 & r^3 & s & rs & r^2s & r^3s r & r & r^2 & r^3 & e & rs & r^2s & r^3s & s r^2 & r^2 & r^3 & e & r & r^2s & r^3s & s & rs r^3 & r^3 & e & r & r^2 & r^3s & s & rs & r^2s s & s & r^3s & r^2s & rs & e & r^3 & r^2 & r rs & rs & s & r^3s & r^2s & r & e & r^3 & r^2 r^2s & r^2s & rs & s & r^3s & r^2 & r & e & r^3 r^3s & r^3s & r^2s & rs & s & r^3 & r^2 & r & e
b) Os subgrupos cíclicos são: ⟨e⟩, ⟨r⟩, ⟨r²⟩ e ⟨x⟩ para cada reflexão x∈{s, rs, r²s, r³s}. Total = 7 subgrupos.
c) Ordem e inverso de cada elemento:
  • e: ordem 1, inverso e
  • r: ordem 4, inverso r³
  • r²: ordem 2, inverso r²
  • r³: ordem 4, inverso r
  • s, rs, r²s, r³s: cada um tem ordem 2 e é o próprio inverso.

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