Diga, para cada alínea, qual dos conjuntos não representa um sistema de equações lineares nas variáveis x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} ? Justifique a sua resposta. \left\{\begin{array}{c}\operatorname{sen}\left(2 x_{1}+x_{3}\right)=\sqrt{5} \\\ e^{-2 x_{2}-2 x_{4}}=x_{3} \\\\ 3 x_{4}=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto de três equações em \{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\):
\[\begin{cases} \sin\bigl(2x_{1}+x_{3}\bigr)=\sqrt{5},\\\ e^{-2x_{2}-2x_{4}}=x_{3},\\\\ 3x_{4}=4, \end{cases}
e pede para identificar se isso forma um sistema de equações lineares em x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\]. O conteúdo necessário é a definição de equação linear, isto é, uma equação na forma
\[a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+a_{4}x_{4}=b,\]
onde \(a_{i} e b são constantes.
Passo 2
Para ser um sistema de equações lineares, cada equação deve ser uma combinação linear das variáveis igual a um termo independente. Não é permitido haver funções não-lineares (como \sin, exponencial, produtos entre variáveis, etc.) nem variáveis em argumentos de funções transcendentais.
Passo 3
Analisando cada equação do conjunto:
A primeira equação é
\sin\bigl(2x_{1}+x_{3}\bigr)=\sqrt{5}.
Aqui aparece a função \sin, que é não-linear, e o argumento 2x_{1}+x_{3} está dentro dessa função; portanto não é da forma a_{1}x_{1}+\dots+a_{4}x_{4}=b.
A segunda equação é
e^{-2x_{2}-2x_{4}}=x_{3}.
Aparece a função exponencial e^{(\cdot)}, também não-linear, e a variável x_{3} está isolada no lado direito, o que não se encaixa no padrão linear.
A terceira equação é
3x_{4}=4,
que por si só é uma equação linear em x_{4}. Contudo, basta que uma das equações seja não-linear para que o sistema como um todo deixe de ser linear.
Passo 4
Como as duas primeiras equações contêm funções não-lineares (\sin e exponencial), o conjunto dado não representa um sistema de equações lineares nas variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Resposta
O conjunto não representa um sistema de equações lineares porque as equações \sin(2x_{1}+x_{3})=\sqrt{5} e e^{-2x_{2}-2x_{4}}=x_{3} são não-lineares.