Diga, para cada alínea, qual dos conjuntos não representa um sistema de equações lineares nas variáveis x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} ? Justifique a sua resposta. \left\{\begin{array}{cccc}7 x_{1}-x_{2} & +2 x_{3} & = & 0 \\\\ 2 x_{1}+x_{2} & -x_{3} x_{4} & = & 3 \\\\ -x_{1}+5 x_{2} & -x_{4} & = & -1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto de três equações em \{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\):
\[\begin{cases} 7x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0,\\\\ 2x_{1}+x_{2}-x_{3}x_{4}=3,\\\\ -\,x_{1}+5x_{2}-x_{4}=-1. \end{cases}
Pede-se identificar se isso é um sistema de equações lineares em ({x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}].
Passo 2
Uma equação é dita linear em \{x_{1},\dots,x_{n}\} se cada termo envolvendo variáveis for da forma coeficiente \times variável e de primeiro grau, sem produtos entre variáveis, potências ou funções não lineares. Um sistema de equações é linear se todas as suas equações forem lineares.
Passo 3
Analisando cada equação:
7x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0 tem apenas termos do tipo coeficiente \times variável e grau 1. É linear.
2x_{1}+x_{2}-x_{3}x_{4}=3 contém o termo -x_{3}x_{4}, produto de duas variáveis. Isso viola a definição de equação linear.
-x_{1}+5x_{2}-x_{4}=-1 também só tem termos lineares em variáveis de grau 1. É linear.
Passo 4
Como a segunda equação não é linear (devido ao termo -x_{3}x_{4}), o conjunto todo não constitui um sistema de equações lineares.
Resposta
O conjunto não representa um sistema de equações lineares porque a segunda equação é não linear em virtude do termo -x_{3}x_{4}.