(1 ponto) Sabendo que q é um vetor unitário e que forma um ângulo de pi6 rad com o vetor v+2 u, calcule a área do triângulo construído sobre q e v+2 u.

Passo 1

O enunciado diz que vec q é um vetor unitário, que forma ângulo tfracpi6 com o vetor vec v+2vec u, e pede a área do triângulo cujos lados são dados por esses dois vetores. O conteúdo aqui é usar a fórmula da área de um triângulo gerado por dois vetores.

Passo 2

Para dois vetores vec a e vec b no espaço (ou plano), a área do paralelogramo que eles geram vale
Áreaparal<=logramo =|vec atimes vec b| =|vec a|,|vec b|,l|sinthetar|, Á
onde theta é o ângulo entre eles. Como queremos um triângulo, basta dividir por 2:
Áreatriang<= =12,|vec a|,|vec b|,l|sinthetar| Á

Passo 3

Aqui vec a=vec q e vec b=vec v+2vec u. Sabemos que
|vec q|=1
e o ângulo é theta=tfracpi6, de modo que sinl(tfracpi6r)=tfrac12. Logo
Áreatriang<= =12cdot|vec q|;|vec v+2vec u|;sin!l(tfracpi6r) =12cdot1cdot|vec v+2vec u|cdottfrac12 =|vec v+2vec u|4 Á

Resposta

A área do triângulo é
14,l|vec v+2vec ur|

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