Mostre que u, v, w é LI se, e somente se, a equação a u+b v+c w=0, com a, b, c reais, admite apenas a solução trivial a=b=c=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um conjunto de vetores u,v,w é linearmente independente exatamente quando a única solução da equação
au+bv+cw=0
é a=b=c=0. O conteúdo usado é a definição de independência linear em espaços vetoriais e argumentos diretos e de contradição.

Passo 2

Provar “ u,v,w LI implies só solução trivial”. Suponha que u,v,w seja LI e que existam a,b,c (nem todos zero) tais que
au+bv+cw=0
Se aneq0, isolamos
u=-ba,v-ca,w,
o que expressa u como combinação de v e w, contradizendo a independência. Logo a=0. Analogamente, b=0 e c=0.

Passo 3

Provar “só solução trivial implies u,v,w LI”. Suponha que a equação
au+bv+cw=0
admita apenas a=b=c=0. Se o conjunto fosse linearmente dependente, um dos vetores, digamos u, seria combinação dos outros:
u=pv+qw
com algum (p,q)neq(0,0). Isso daria
u-pv-qw=0,
uma combinação não trivial, contradizendo a hipótese. Logo o conjunto é LI.

Resposta

Concluímos que u,v,w é linearmente independente se, e somente se, a equação
au+bv+cw=0
admite apenas a solução trivial a=b=c=0.

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