Mostre que
é LI se, e somente se, a equação
, com
reais, admite apenas a solução trivial
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um conjunto de vetores
é linearmente independente exatamente quando a única solução da equação
é
. O conteúdo usado é a definição de independência linear em espaços vetoriais e argumentos diretos e de contradição.
Passo 2
Provar “
LI
só solução trivial”. Suponha que
seja LI e que existam
(nem todos zero) tais que
Se
, isolamos
o que expressa
como combinação de
e
, contradizendo a independência. Logo
. Analogamente,
e
.
Passo 3
Provar “só solução trivial
LI”. Suponha que a equação
admita apenas
. Se o conjunto fosse linearmente dependente, um dos vetores, digamos
, seria combinação dos outros:
com algum
. Isso daria
uma combinação não trivial, contradizendo a hipótese. Logo o conjunto é LI.
Resposta
Concluímos que
é linearmente independente se, e somente se, a equação
admite apenas a solução trivial
.