Prove que
é LI se, e somente se,
admite apenas a solução trivial
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o par de vetores
é linearmente independente (LI) se, e somente se, a única solução da combinação
é
.
O conteúdo aqui é o conceito de independência linear: por definição, um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação não trivial que dê o vetor zero; é LI quando não há tal combinação não trivial.
O conteúdo aqui é o conceito de independência linear: por definição, um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação não trivial que dê o vetor zero; é LI quando não há tal combinação não trivial.
Passo 2
(
) Suponha que
sejam LI. Isso significa que não existe par
tal que
Para ver por que, imagine que em alguma solução
. Então podemos escrever
ou seja,
seria múltiplo de
, o que contradiz a independência. Logo não pode ocorrer
, e de forma análoga não pode ocorrer
. Concluímos que, sob LI, a única solução é mesmo
.
Passo 3
(\leftarrow) Agora suponha que a única solução de
é
. Queremos provar que
são LI, ou seja, que nenhum dos vetores é múltiplo do outro. Se, por absurdo,
para algum
, então
é uma combinação não trivial (coeficientes
) que anula o vetor, em contradição à hipótese de que só existe a solução trivial. Logo não há tais múltiplos, e
são LI.
Resposta
Mostramos as duas implicações, portanto
são linearmente independentes se, e somente se, a única solução de
é
.