Prove que (u, v) é LI se, e somente se,
a u+b v=0
admite apenas a solução trivial a=b=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o par de vetores u,v é linearmente independente (LI) se, e somente se, a única solução da combinação
a,u+b,v=0
é a=b=0.
O conteúdo aqui é o conceito de independência linear: por definição, um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação não trivial que dê o vetor zero; é LI quando não há tal combinação não trivial.

Passo 2

( to) Suponha que u,v sejam LI. Isso significa que não existe par (a,b)neq(0,0) tal que
a,u+b,v=0
Para ver por que, imagine que em alguma solução aneq0. Então podemos escrever
u=-ba,v,
ou seja, u seria múltiplo de v, o que contradiz a independência. Logo não pode ocorrer aneq0, e de forma análoga não pode ocorrer bneq0. Concluímos que, sob LI, a única solução é mesmo a=b=0.

Passo 3

(\leftarrow) Agora suponha que a única solução de
a,u+b,v=0
é a=b=0. Queremos provar que u,v são LI, ou seja, que nenhum dos vetores é múltiplo do outro. Se, por absurdo, u=lambda,v para algum lambda, então
1cdotu+(-lambda),v=0
é uma combinação não trivial (coeficientes (1,-lambda)neq(0,0)) que anula o vetor, em contradição à hipótese de que só existe a solução trivial. Logo não há tais múltiplos, e u,v são LI.

Resposta

Mostramos as duas implicações, portanto u,v são linearmente independentes se, e somente se, a única solução de a,u+b,v=0 é a=b=0.

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