Seja V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) e W=\{A \in V, \operatorname{tr}(A)=0\}. O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz. Mostre que W es subespaço de V e encontre uma base para W.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
V = M_{2\times 2}(\mathbb{R})
e o subconjunto
W = \{A\in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}.
Queremos (i) mostrar que W é subespaço de V e (ii) encontrar uma base de W.
Passo 2
Verificar as três condições de subespaço:
— O elemento zero de V é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
e \operatorname{tr}(0)=0+0=0, logo 0\in W.
— Se A,B\in W, então \operatorname{tr}(A)=0 e \operatorname{tr}(B)=0. Assim,
Elas são linearmente independentes e sua combinação linear produz qualquer matriz de traço zero. Portanto \{E_1,E_2,E_3\} é uma base de W e \dim W = 3.
Resposta
Mostramos que W é subespaço de V e uma base para W é