Seja V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) e W=\{A \in V, \operatorname{tr}(A)=0\}. O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz. Mostre que W es subespaço de V e encontre uma base para W.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M_{2\times 2}(\mathbb{R})
e o subconjunto
W = \{A\in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}.
Queremos (i) mostrar que W é subespaço de V e (ii) encontrar uma base de W.

Passo 2

Verificar as três condições de subespaço:
— O elemento zero de V é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
e \operatorname{tr}(0)=0+0=0, logo 0\in W.
— Se A,B\in W, então \operatorname{tr}(A)=0 e \operatorname{tr}(B)=0. Assim,
\operatorname{tr}(A+B) =\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B) =0+0=0,
logo A+B\in W.
— Se \alpha\in\mathbb{R} e A\in W, então
\operatorname{tr}(\alpha A) =\alpha\,\operatorname{tr}(A) =\alpha\cdot0=0,
logo \alpha A\in W.
Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço de V.

Passo 3

Para achar uma base, escrevemos a forma geral de uma matriz em W. Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W.
A condição \operatorname{tr}(A)=0 a+d=0, ou seja d=-a. Logo
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & -a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Dos coeficientes a,b,c vemos que W é gerado pelas três matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Elas são linearmente independentes e sua combinação linear produz qualquer matriz de traço zero. Portanto \{E_1,E_2,E_3\} é uma base de W e \dim W = 3.

Resposta

Mostramos que W é subespaço de V e uma base para W é
\Bigl\{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \Bigr\}.]

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