Diga se os conjuntos abaíxo săo subespaços de
\mathbf{R}^{3} com as operações usuris do \mathbb{R}^{3}.
A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=z\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x + y = z\}
é subespaço de \mathbb{R}^3 com as operações usuais. O que precisamos usar é o critério de subespaço: mostrar que
  1. o vetor zero está em A,
  2. A é fechado sob adição,
  3. A é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) satisfaz a condição de A. Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) em x+y=z obtemos
0 + 0 = 0,
que é verdadeiro. Logo, (0,0,0)\in A.

Passo 3

Mostramos que A é fechado sob adição. Sejam (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em A. Então
x_1 + y_1 = z_1 \quad\text{e}\quad x_2 + y_2 = z_2.
Ao somar coordenada a coordenada, o par
(x_1 + x_2,\;y_1 + y_2,\;z_1 + z_2)
satisfaz
(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = z_1 + z_2,
portanto o resultado da soma também está em A.

Passo 4

Mostramos que A é fechado sob multiplicação por escalar. Seja (x,y,z)\in A e c\in\mathbb{R}. Como x+y=z, ao multiplicar tudo por c obtemos
c x + c y = c z.
Logo (c x,\,c y,\,c z) satisfaz a condição de A e pertence a A.

Resposta

A é subespaço de \mathbb{R}^3.

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