A relação entre matrizes invertíveis e independência linear de suas colunas é de grande importância, pois nos auxilia a compreender melhor aspectos geométricos das transformações matriciais. Qual das matrizes a seguir tem um conjunto de vetores linearmente nas colunas?
Escolha uma opção:
a. \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
b. \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]
C. \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
d. \quad\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
e. \quad\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das matrizes dadas tem colunas linearmente independentes. Sabemos que, para matrizes quadradas, isso equivale a verificar se a matriz é invertível.

Passo 2

O critério principal é: colunas de uma matriz são linearmente independentes se, e somente se, o determinante dessa matriz for diferente de zero. Assim, basta calcular ou inspecionar o determinante de cada opção.

Passo 3

Nas opções a, c, d e e observa-se imediatamente que cada uma tem uma linha nula ou linhas repetidas, o que implica \det=0
e, portanto, colunas linearmente dependentes.

Passo 4

Na opção b temos
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
\det(B) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} -0+\;0 =1\cdot(1\cdot1-0\cdot1) =1\neq0.
Logo, B é invertível e suas colunas são linearmente independentes.]

Resposta

(b)

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