Para as funções abaixo determine o conjunto imagem.
f(x)=1-e^x^2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o conjunto imagem da função f(x) = 1 - e^x^2 - 2x . Isso significa descobrir todos os possíveis valores que f(x) pode assumir conforme x varia. Para isso, vamos usar algumas ideias de funções exponenciais e análise de funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte do expoente na função, que é x^2 - 2x . Para facilitar, vamos completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a reescrever uma expressão quadrática de forma que seja mais fácil de analisar, especialmente para encontrar máximos ou mínimos.
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Aqui, reescrevemos x^2 - 2x como (x - 1)^2 - 1 . Isso é útil porque agora podemos ver que (x - 1)^2 é sempre maior ou igual a zero, já que é um quadrado.

Passo 3

Substituindo de volta na função original, temos:
f(x) = 1 - e^(x - 1)^2 - 1 = 1 - e^-1 cdot e^(x - 1)^2
Sabemos que e^-1 = 1e e e^(x - 1)^2 é sempre maior ou igual a 1 (porque qualquer número elevado a uma potência par é positivo e e^0 = 1 ). Então:
e^(x - 1)^2 >= 1 Rightarrow e^-1 cdot e^(x - 1)^2 >= 1e

Passo 4

Agora, substituindo de volta na função:
f(x) = 1 - e^x^2 - 2x <= 1 - 1e
Isso nos mostra que o valor de f(x) nunca será maior que 1 - 1e .

Passo 5

Finalmente, vamos considerar os valores mínimos. Conforme x cresce ou diminui sem limite, (x - 1)^2 cresce sem limite, fazendo com que e^(x - 1)^2 também cresça sem limite. Isso significa que e^x^2 - 2x pode ser tão grande quanto quisermos, fazendo com que f(x) possa ir até menos infinito.

Resposta

O conjunto imagem da função é (-infty, 1 - 1e] .

Exercícios relacionados