Para as funções abaixo determine o conjunto imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o conjunto imagem da função
. Isso significa descobrir todos os possíveis valores que
pode assumir conforme
varia. Para isso, vamos usar algumas ideias de funções exponenciais e análise de funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte do expoente na função, que é
. Para facilitar, vamos completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a reescrever uma expressão quadrática de forma que seja mais fácil de analisar, especialmente para encontrar máximos ou mínimos.
Aqui, reescrevemos
como
. Isso é útil porque agora podemos ver que
é sempre maior ou igual a zero, já que é um quadrado.
Passo 3
Substituindo de volta na função original, temos:
Sabemos que
e
é sempre maior ou igual a 1 (porque qualquer número elevado a uma potência par é positivo e
). Então:
Passo 4
Agora, substituindo de volta na função:
Isso nos mostra que o valor de
nunca será maior que
.
Passo 5
Finalmente, vamos considerar os valores mínimos. Conforme
cresce ou diminui sem limite,
cresce sem limite, fazendo com que
também cresça sem limite. Isso significa que
pode ser tão grande quanto quisermos, fazendo com que
possa ir até menos infinito.
Resposta
O conjunto imagem da função é
.