Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção delas.
a) r:(1,4,4)+(1,2,3) t e s:(2,5,1)+ (2,4,6) t

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3 na forma vetorial:
r: (1,4,4) + (1,2,3),t, s: (2,5,1) + (2,4,6),u
O objetivo é determinar se elas são concorrentes (intersectam-se), paralelas (distintas ou coincidentes) ou reversas. Para isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e colinearidade.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de r e s:
vec vr = (1,2,3), vec vs = (2,4,6)
Para linhas paralelas ou coincidentes, é necessário que vec vs seja múltiplo de vec vr.

Passo 3

Observamos que
vec vs = 2,(1,2,3) = 2,vec vr,
logo as retas são paralelas ou coincidentes. Para distinguir, consideramos o vetor que une um ponto de r a um ponto de s:
PrPs = (2,5,1) - (1,4,4) = (1,1,-3)
Se (1,1,-3) fosse colinear a vec vr, existir-ia lambda tal que
(1,1,-3) = lambda,(1,2,3)
Pelas componentes, teríamos
1 = lambda, 1 = 2lambda, -3 = 3lambda
que dão lambda=1, lambda=tfrac12 e lambda=-1, uma contradição. Logo não há colinearidade dos pontos.

Passo 4

Como os vetores diretores são colineares mas o vetor que une os pontos não é múltiplo desse diretor, concluímos que as retas são paralelas e distintas (não coincidem e não se interceptam).

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas, portanto não há ponto de interseção.

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