Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
H: R^4 R^2 ; F(x, y, z, w)=(x+y, z+w+1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
Hcolon R^4 to R^2, H(x,y,z,w)=(x+y,;z+w+1)
é uma transformação linear e, em caso afirmativo, encontrar seu núcleo e imagem, dando bases para ambos. Para isso precisamos usar a definição de transformação linear: H é linear se e somente se
  1. H(u+v)=H(u)+H(v) para todos u,vinR^4;
  2. H(lambda u)=lambda,H(u) para todo lambdainR e uinR^4.

Passo 2

Teste mais simples: em toda transformação linear deve valer H(0,0,0,0)=(0,0). Aqui
H(0,0,0,0) = (0+0,;0+0+1) = (0,1)neq(0,0)
Logo H não preserva o vetor zero, o que já basta para concluir que não é linear.

Passo 3

Como H não satisfaz a condição H(0)=0, ela não é uma transformação linear.

Resposta

A função H não é transformação linear. Portanto não faz sentido falar em núcleo ou imagem da forma linear pedida.

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