Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x-y-z, x-2 y-2 z, 2 x+z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-y-z,;x-2y-2z,;2x+z)
é uma transformação linear. Em caso afirmativo, queremos encontrar o núcleo ker(T) e a imagem im(T), exibindo uma base para cada um. O conteúdo é transformação linear, sistema homogêneo para o núcleo e espaço gerado pelas colunas para a imagem.

Passo 2

Para ser linear, T deve satisfazer
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u)
Como cada componente de T(x,y,z) é uma combinação linear de x,y,z sem termos constantes, essas propriedades já estão garantidas. Logo, T é de fato uma transformação linear.

Passo 3

Vamos achar a matriz de T na base canônica. Calculando as imagens dos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
T(e1)=(1,1,2), T(e2)=(-1,-2,0), T(e3)=(-1,-2,1)
Logo a matriz associada é
A = 1 & -1 & -1 1 & -2 & -2 2 & 0 & 1 ,
de modo que T(x,y,z)^T = A,(x,y,z)^T.

Passo 4

Para achar o núcleo, resolvemos
Da terceira equação vem . Na segunda surge
Assim é a única solução, então

Passo 5

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, isto é
im(T)=spanl(1,1,2),,(-1,-2,0),,(-1,-2,1)r
Como det A=-1neq0, essas três colunas são linearmente independentes em R^3 e portanto geram todo R^3. Logo
im(T)=R^3

Resposta

T é linear.
ker(T)=(0,0,0), cuja base é o conjunto vazio.
im(T)=R^3, por exemplo com base (1,1,2),,(-1,-2,0),,(-1,-2,1).

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