Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é uma transformação linear. Em caso afirmativo, queremos encontrar o núcleo e a imagem , exibindo uma base para cada um. O conteúdo é transformação linear, sistema homogêneo para o núcleo e espaço gerado pelas colunas para a imagem.
Passo 2
Para ser linear, deve satisfazer
Como cada componente de é uma combinação linear de sem termos constantes, essas propriedades já estão garantidas. Logo, é de fato uma transformação linear.
Passo 3
Vamos achar a matriz de na base canônica. Calculando as imagens dos vetores , , :
Logo a matriz associada é
de modo que T(x,y,z)^T = A,(x,y,z)^T.
Passo 4
Para achar o núcleo, resolvemos
Da terceira equação vem . Na segunda surge
Assim é a única solução, então
Passo 5
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, isto é
im(T)=spanl(1,1,2),,(-1,-2,0),,(-1,-2,1)r
Como det A=-1neq0, essas três colunas são linearmente independentes em R^3 e portanto geram todo R^3. Logo
im(T)=R^3
Resposta
T é linear. ker(T)=(0,0,0), cuja base é o conjunto vazio. im(T)=R^3, por exemplo com base (1,1,2),,(-1,-2,0),,(-1,-2,1).