Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
é a derivada de
Passo 1
O enunciado define
por
e pede para verificar se
é linear, encontrar o núcleo e a imagem, e exibir bases para cada um.
Passo 2
Para ver se
é linear, precisamos checar duas propriedades para quaisquer polinômios
e escalar
:
.
.
.
.
Como ambas valem, é uma transformação linear.
Como ambas valem,
Passo 3
O núcleo de
é
A única forma de uma derivada ser identicamente zero é quando
é constante, ou seja,
Uma base natural para esse conjunto é
.
Passo 4
A imagem de
é o conjunto de todas as derivadas de polinômios de grau
. Se
tem grau
, então
tem grau
, logo
Alternativamente, aplicando
à base canônica de
:
vemos que
é gerado por
, que é independente e forma uma base de
.
Resposta
T é transformação linear.
, base
.
, base
.