Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
T: P3 P3, T(p(x))=p^prime(x)(p^prime(x) é a derivada de p(x))

Passo 1

O enunciado define T:P3toP3 por
Tl(p(x)r)=p'(x),
e pede para verificar se T é linear, encontrar o núcleo e a imagem, e exibir bases para cada um.

Passo 2

Para ver se T é linear, precisamos checar duas propriedades para quaisquer polinômios p,qinP3 e escalar alphainR:
1. T(p+q)=(p+q)'=p'+q'=T(p)+T(q).
2. T(alpha p)=(alpha p)'=alpha p'= alpha,T(p).
Como ambas valem, T é uma transformação linear.

Passo 3

O núcleo de T é
ker(T)=pinP3mid p'(x)=0 forall x
A única forma de uma derivada ser identicamente zero é quando p(x) é constante, ou seja,
ker(T)=p(x)=cmid cinR
Uma base natural para esse conjunto é 1.

Passo 4

A imagem de T é o conjunto de todas as derivadas de polinômios de grau <=3. Se p tem grau <=3, então p' tem grau <=2, logo
Im(T)=P2
Alternativamente, aplicando T à base canônica de P3:
T(1)=0, T(x)=1, T(x^2)=2x, T(x^3)=3x^2,
vemos que Im(T) é gerado por 1,x,x^2, que é independente e forma uma base de P2.

Resposta

T é transformação linear.
ker(T)=p(x)=cmid cinR, base 1.
Im(T)=P2, base 1,x,x^2.

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