Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
Passo 1
O enunciado apresenta a aplicação
O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo e imagem. Precisamos: verificar se é linear, calcular e , e exibir bases para esses subespaços.
Passo 2
Para decidir se é linear, note que cada componente de é combinação linear de . Mais formalmente, podemos escrever
Como T(v)=Av para todo vinR^3, T é de fato uma transformação linear.
Passo 3
O núcleo de
Da segunda equação obtemos . Logo
Portanto e uma base para o núcleo é
Passo 4
A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas de A, que são
c1 = 1 0 1, c2 = 2 1 3, c3 = -1 2 1
Verificamos se c3 é combinação de c1 e c2. Procurando a,b tais que
a,c1 + b,c2 = c3,
temos do segundo componente b=2 e do primeiro a+2b=-1implies a=-5. De fato
-5,c1 + 2,c2 = -5+4 0+2 -5+6 = -1 2 1 = c3
Logo c3 é redundante e c1,c2 é base da imagem. Assim
Im(T)=span(1,0,1),(2,1,3)
Resposta
T é linear. ker(T)=span(5,-2,1) com base (5,-2,1). Im(T)=span(1,0,1),(2,1,3) com base (1,0,1),(2,1,3).