Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+2 z, x+3 y+z)

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (x+2y-z,;y+2z,;x+3y+z)
O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo e imagem. Precisamos: verificar se T é linear, calcular ker(T) e Im(T), e exibir bases para esses subespaços.

Passo 2

Para decidir se T é linear, note que cada componente de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z. Mais formalmente, podemos escrever
T(x,y,z) = A x y z com A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 1 & 3 & 1
Como T(v)=Av para todo vinR^3, T é de fato uma transformação linear.

Passo 3

O núcleo de
Da segunda equação obtemos . Logo
Portanto e uma base para o núcleo é

Passo 4

A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas de A, que são
c1 = 1 0 1, c2 = 2 1 3, c3 = -1 2 1
Verificamos se c3 é combinação de c1 e c2. Procurando a,b tais que
a,c1 + b,c2 = c3,
temos do segundo componente b=2 e do primeiro a+2b=-1implies a=-5. De fato
-5,c1 + 2,c2 = -5+4 0+2 -5+6 = -1 2 1 = c3
Logo c3 é redundante e c1,c2 é base da imagem. Assim
Im(T)=span(1,0,1),(2,1,3)

Resposta

T é linear.
ker(T)=span(5,-2,1) com base (5,-2,1).
Im(T)=span(1,0,1),(2,1,3) com base (1,0,1),(2,1,3).

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