Sejam U e V R-espaços vetoriais não-nulos e seja T: U V uma transformação linear.
Se tivermos T injetora, dim U=5 e dim V=6, qual a dimensão da imagem da T?

Passo 1

O enunciado considera espaços vetoriais reais U e V com dim U=5 e dim V=6 e uma transformação linear T:Uto V. Como T é injetora, queremos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem) para encontrar diml(ImTr).

Passo 2

O Teorema Núcleo–Imagem diz que, para toda transformação linear T:Uto V,
dim U = diml(ker Tr) + diml(ImTr)
Como T é injetora, seu núcleo contém apenas o vetor zero, logo
diml(ker Tr)=0

Passo 3

Substituindo em dim U = dim(ker T) + dim(ImT), temos
5 = 0 + diml(ImTr),
portanto
diml(ImTr)=5

Resposta

5

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