Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
R: P2 R^3 ; R(a0+a1 x+a2 x^2)=(-a0,(a1+a2)^2).

Passo 1

O enunciado define
Rcolon P2 to R^3
por
Rl(a0+a1x+a2x^2r)=l(-a0,,(a1+a2)^2r)
Precisamos verificar se R preserva soma e produto por escalar, isto é, se é uma transformação linear.

Passo 2

Para testar a aditividade, considere
p(x)=a0+a1x+a2x^2
e
q(x)=b0+b1x+b2x^2.
Então
R(p+q) =Rl((a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2r) =l(-(a0+b0),,(a1+b1+a2+b2)^2r),
enquanto
R(p)+R(q) =l(-a0,,(a1+a2)^2r) +l(-b0,,(b1+b2)^2r) =l(-(a0+b0),,(a1+a2)^2+(b1+b2)^2r)
Em geral
(a1+a2+b1+b2)^2 neq (a1+a2)^2 + (b1+b2)^2,
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R(p+q)neq R(p)+R(q),
e R não preserva a soma. Portanto R não é linear.

Resposta

A função R não é transformação linear.

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