Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+y+8 z)

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^3 to R^2
por
T(x,y,z) = (,x - y + 4z,;3x + y + 8z,)
O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo e imagem de T. Vamos verificar se T é linear, depois achar
ker(T) e im(T), exibindo uma base para cada um.

Passo 2

Para ver que T é linear, note que suas coordenadas são combinações lineares de x,y,z. Alternativamente, para quaisquer (xi,yi,zi) e escalar lambda, temos
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
=l((x1+x2)-(y1+y2)+4(z1+z2),;3(x1+x2)+(y1+y2)+8(z1+z2)r)
=l(x1-y1+4z1,;3x1+y1+8z1r) +l(x2-y2+4z2,;3x2+y2+8z2r) =T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2),
e
Tl(lambda(x,y,z)r) = T(lambda x,lambda y,lambda z) =l(lambda(x-y+4z),;lambda(3x+y+8z)r) =lambda,T(x,y,z)
Logo, T é transformação linear.

Passo 3

Podemos escrever como multiplicação por matriz na base canônica:
tal que .

Passo 4

O núcleo é
ker(T)=l(x,y,z)inR^3: A(x,y,z)^T=(0,0)^Tr
Isso equivale ao sistema
x - y + 4z = 0, 3x + y + 8z = 0
Da primeira equação x = y - 4z. Substituindo na segunda:
3(y-4z) + y + 8z = 0 ;Longrightarrow;4y -4z = 0 ;Longrightarrow;y = z
Logo x = y -4z = z -4z = -3z. Com parâmetro t=z,
(x,y,z) = t,(-3,1,1)

Passo 5

Concluímos
ker(T) = span(-3,1,1),
uma vez que todo vetor do núcleo é múltiplo de (-3,1,1). Assim uma base de ker(T) é
,(-3,1,1)

Passo 6

A imagem de T é o subespaço de R^2 gerado pelas colunas de A:
c1 = (1,3), c2 = (-1,1), c3 = (4,8)
Verificamos que c1 e c2 são linearmente independentes, pois
detl[(1,3),(-1,1)r]=1cdot1-(-1)cdot3=4neq0. Como dim(R^2)=2, temos
im(T)=R^2
e uma base conveniente é
(1,3),;(-1,1)

Resposta

T é linear.
ker(T)=span(-3,1,1), base do núc<=o: (-3,1,1) ú
im(T)=R^2, base da ima>=m: (1,3),,(-1,1)

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