Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
Passo 1
O enunciado define
por
O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo e imagem de . Vamos verificar se é linear, depois achar e , exibindo uma base para cada um.
Passo 2
Para ver que é linear, note que suas coordenadas são combinações lineares de . Alternativamente, para quaisquer e escalar , temos
e
Logo, é transformação linear.
Passo 3
Podemos escrever como multiplicação por matriz na base canônica:
tal que .
Passo 4
O núcleo é
ker(T)=l(x,y,z)inR^3: A(x,y,z)^T=(0,0)^Tr
Isso equivale ao sistema
x - y + 4z = 0, 3x + y + 8z = 0
Da primeira equação x = y - 4z. Substituindo na segunda:
3(y-4z) + y + 8z = 0 ;Longrightarrow;4y -4z = 0 ;Longrightarrow;y = z
Logo x = y -4z = z -4z = -3z. Com parâmetro t=z,
(x,y,z) = t,(-3,1,1)
Passo 5
Concluímos
ker(T) = span(-3,1,1),
uma vez que todo vetor do núcleo é múltiplo de (-3,1,1). Assim uma base de ker(T) é
,(-3,1,1)
Passo 6
A imagem de T é o subespaço de R^2 gerado pelas colunas de A:
c1 = (1,3), c2 = (-1,1), c3 = (4,8)
Verificamos que c1 e c2 são linearmente independentes, pois detl[(1,3),(-1,1)r]=1cdot1-(-1)cdot3=4neq0. Como dim(R^2)=2, temos