Sejam U e V R-espaços vetoriais não-nulos e seja T: U V uma transformação linear.
É possível termos simultaneamente T injetora, dim U=3 e dim V=2?

Passo 1

O enunciado dá dois espaços vetoriais reais não-nulos U e V com dim U = 3 e dim V = 2, e uma transformação linear Tcolon U to V. Pergunta-se se é possível ter T injetora sob essas dimensões.

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem), que afirma:
dim U = dim ker T + dim im,T

Passo 3

Se T é injetora, então ker T = 0 e portanto
dim ker T = 0
Logo,
dim im,T = dim U - dim ker T = 3 - 0 = 3

Passo 4

Por outro lado, a imagem de T é subespaço de V, então
dim im,T <= dim V = 2
Isso implica 3 <= 2, uma contradição.

Resposta

Não, não é possível ter simultaneamente T injetora, dim U = 3 e dim V = 2.

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