Sejam
e
-espaços vetoriais não-nulos e seja
uma transformação linear.
É possível termos simultaneamente
injetora,
e
?
É possível termos simultaneamente
Passo 1
O enunciado dá dois espaços vetoriais reais não-nulos
e
com
e
, e uma transformação linear
. Pergunta-se se é possível ter
injetora sob essas dimensões.
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem), que afirma:
Passo 3
Se
é injetora, então
e portanto
Logo,
Passo 4
Por outro lado, a imagem de
é subespaço de
, então
Isso implica
, uma contradição.
Resposta
Não, não é possível ter simultaneamente
injetora,
e
.