Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
F: M2 times 2(R) R^4 ; F([lla & b c & d])=(a+b, b+d, 2 a, a+c)

Passo 1

O enunciado define uma aplicação F:M2times2(R)toR^4 por
Fl(a & b c & dr) = (,a+b,;b+d,;2a,;a+c,)
O que precisamos fazer é:
  1. Verificar se F é linear (isto é, checar aditividade e homogeneidade).
  2. Encontrar ker F (os matrizes que vão em zero) e exibir uma base.
  3. Encontrar ImF e exibir uma base.

Passo 2

Mostramos que é linear observando que cada componente de é combinação linear das entradas . Em particular, se e , então
e para ,
Logo, é transformação linear.

Passo 3

Para achar
isto é, o sistema
Da terceira equação vem , logo
é trivial. Uma base do núcleo é o conjunto vazio (ou simplesmente dizer que ).

Passo 4

Pela dimensão do domínio ( dimM2times2=4) e do núcleo ( dimker F=0), a dimensão da imagem é
dimImF = 4-0 = 4
Como o codomínio R^4 também tem dimensão 4, segue que
ImF = R^4
Uma forma construtiva de ver isso é tomar a base canônica de M2times2:
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1,
e calcular
F(E11)=(1,0,2,1), F(E12)=(1,1,0,0), F(E21)=(0,0,0,1), F(E22)=(0,1,0,0)
Esses quatro vetores de R^4 são linearmente independentes (e geram R^4), então formam uma base da imagem.

Resposta

F é transformação linear.
ker F=zero matrix , sem vetor não-nulo (base vazia, dimker F=0).
ImF=R^4, por exemplo com base
,(1,0,2,1),,(1,1,0,0),,(0,0,0,1),,(0,1,0,0)

Exercícios relacionados