Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
Passo 1
O enunciado define uma aplicação por
O que precisamos fazer é:
Verificar se é linear (isto é, checar aditividade e homogeneidade).
Encontrar (os matrizes que vão em zero) e exibir uma base.
Encontrar e exibir uma base.
Passo 2
Mostramos que é linear observando que cada componente de é combinação linear das entradas . Em particular, se e , então
e para ,
Logo, é transformação linear.
Passo 3
Para achar
isto é, o sistema
Da terceira equação vem , logo
é trivial. Uma base do núcleo é o conjunto vazio (ou simplesmente dizer que ).
Passo 4
Pela dimensão do domínio (dimM2times2=4) e do núcleo (dimker F=0), a dimensão da imagem é
dimImF = 4-0 = 4
Como o codomínio R^4 também tem dimensão 4, segue que
ImF = R^4
Uma forma construtiva de ver isso é tomar a base canônica de M2times2:
Esses quatro vetores de R^4 são linearmente independentes (e geram R^4), então formam uma base da imagem.
Resposta
F é transformação linear. ker F=zero matrix, sem vetor não-nulo (base vazia, dimker F=0). ImF=R^4, por exemplo com base ,(1,0,2,1),,(1,1,0,0),,(0,0,0,1),,(0,1,0,0)