Sejam U e V R-espaços vetoriais não-nulos e seja T: U V uma transformação linear.
Se tivermos T sobrejetora, dim Nuc T=2 e dim V=4, qual a dimensão de U?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:Uto V entre espaços vetoriais sobre R, com T sobrejetora, dimker T=2 e dim V=4. Queremos achar dim U. O conteúdo principal é o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem).

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação linear T:Uto V vale
dim U ;=;dimker T;+;dimImT

Passo 3

Como T é sobrejetora, ImT=V. Logo,
dimImT ;=;dim V ;=;4

Passo 4

Substituindo dimker T=2 e dimImT=4 na fórmula,
dim U ;=;2 + 4 ;=;6

Resposta

6

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