Diga o que é uma função de n variáveis reais com valores reais. Dê exemplos de situações práticas nas quais aparecem funções de várias variáveis.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente dizer o que é uma função de n variáveis reais com valores reais e dar exemplos práticos. Isso cai em Análise em várias variáveis: pra resolver a gente vai precisar saber o que é uma função no sentido de “regra que associa entradas a saídas”, entender domínio (de onde vêm as entradas) e contradomínio (onde vão parar os resultados), além de sacar o que significa trabalhar em R^n.

Passo 2

O que é, afinal, uma função de n variáveis reais com valor real?
  1. “Função” é só uma forma mais chique de falar que a gente tem uma regra que pega uns números de entrada e devolve um número de saída.
  2. Quando falamos em n variáveis, significa que a entrada é um “vetorzinho” de n coordenadas, cada uma em R. A gente escreve o domínio como um subconjunto Dsubseteq R^n.
  3. Formalmente,
f: D ;subseteq; R^n ;longrightarrow; R, (x1, x2, dots, xn);mapsto; f(x1, x2, dots, xn)
Aqui:
  • D é o conjunto de todas as tuplas (x1,dots,xn) onde a função está definida.
  • Cada (x1,dots,xn) é um ponto em R^n.
  • O resultado f(x1,dots,xn) é um número real.

Passo 3

Alguns exemplos práticos para fixar a ideia:
  • Topografia: a altura do terreno em cada ponto (x,y) no mapa é
h:R^2 to R, (x,y)mapsto h(x,y)
  • Temperatura numa cidade varia com latitude, longitude e altitude:
T:R^3toR, (,lat,long,a<,)mapsto T(lat,long,a<)
  • Economia: o lucro de uma empresa pode depender da quantidade produzida de dois produtos x e y:
L:R^2toR, (x,y)mapsto L(x,y)
  • Física: potencial gravitacional num ponto do espaço (x,y,z):
V:R^3toR, (x,y,z)mapsto V(x,y,z)

Resposta

Uma função de n variáveis reais com valores reais é uma regra
f: DsubseteqR^n ;to;R,
que associa cada tupla (x1,x2,dots,xn) de números reais a um único número real f(x1,dots,xn).
Exemplos práticos incluem:
  • A altura do terreno h(x,y) como função de duas coordenadas em R^2.
  • A temperatura T(lat,long,a<) em função de três variáveis.
  • O lucro L(x,y) de uma empresa em função de quantidades de dois produtos.
  • O potencial gravitacional V(x,y,z) no espaço tridimensional.

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