Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
a) ( 1,0 pt ) Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^2 x+C2 x e^2 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes alpha e beta,
y'' + alpha y' + beta y = 0,
e pede valores de alpha e beta tais que a solução geral seja
y(x)=C1e^2x+C2x,e^2x
Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

A equação característica é
r^2 + alpha r + beta = 0
Como a solução dada corresponde a uma raiz real dupla em r=2, a característica deve ser
(r-2)^2 = 0
Expandindo, fica
r^2 - 4r + 4 = 0
Comparando com r^2 + alpha r + beta = 0, obtemos
alpha = -4, beta = 4

Resposta

(alpha,beta)=(-4,4)

Exercícios relacionados