Sejam dados um real s>0 e um natural N neq 0.
(a) Aplicando Integração por Partes verifique que
integral0^+infty e^-s t t^N d t=Ns integral0^+infty t^N-1 e^-s t d t
(b) Use Indução Finita para mostrar que
integral0^+infty e^-s t t^N d t=N!s^N+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^+infty e^-s t t^N d t
sendo s>0 real e NinN, Nneq0. O conteúdo envolve aplicação de Integração por Partes e depois prova por Indução Finita.

Passo 2

Para (a) aplicamos a fórmula de Integração por Partes. Escolhemos
u = t^N, dv = e^-s tdt
Então
du = N,t^N-1dt, v = integral e^-s tdt = -1se^-s t

Passo 3

Pela fórmula
integral0^+inftyu,dv = l[u,vr]0^+infty - integral0^+inftyv,du
O termo de fronteira é
limtto+inftyt^Nl(-tfrac1se^-s tr) -;0^Nl(-tfrac1se^-scdot0r)=0,
pois e^-s t decai mais rápido que qualquer potência de t. Logo

Passo 4

integral0^+inftye^-s tt^Ndt =Nsintegral0^+inftyt^N-1e^-s tdt

Passo 5

Para (b) usamos Indução Finita em N. Base N=1:
integral0^+inftye^-s tt,dt =1sintegral0^+inftye^-s tdt =1sl[-tfrac1se^-s tr]0^+infty =1s,1s =1!s^2

Passo 6

Suponha que para algum k>=1 valha
integral0^+inftye^-s tt^kdt =k!s^k+1
Então pelo resultado do Passo 4 com N=k+1 temos
integral0^+inftye^-s tt^k+1dt =k+1sintegral0^+inftye^-s tt^kdt =k+1s,k!s^k+1 =(k+1)!s^(k+1)+1
Assim a fórmula vale para todo NinN, Nneq0.

Resposta

(a) integral0^+inftye^-s tt^Ndt=Nsintegral0^+inftyt^N-1e^-s tdt
(b) integral0^+inftye^-s tt^Ndt=N!s^N+1

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