Sejam dados um real
e um natural
.
(a) Aplicando Integração por Partes verifique que
(b) Use Indução Finita para mostrar que
(a) Aplicando Integração por Partes verifique que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
sendo
real e
,
. O conteúdo envolve aplicação de Integração por Partes e depois prova por Indução Finita.
Passo 2
Para (a) aplicamos a fórmula de Integração por Partes. Escolhemos
Então
Passo 3
Pela fórmula
O termo de fronteira é
pois
decai mais rápido que qualquer potência de
. Logo
Passo 4
Passo 5
Para (b) usamos Indução Finita em
. Base
:
Passo 6
Suponha que para algum
valha
Então pelo resultado do Passo 4 com
temos
Assim a fórmula vale para todo
,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)