Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
b) ( 1,0 pt ) Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^raiz5 x+C2 e^raiz7 x.

Passo 1

O enunciado pede valores de (alpha,beta) de forma que a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + alpha,y' + beta,y = 0
tenha solução geral
y(x)=C1e^raiz5,x+C2e^raiz7,x
O conteúdo é EDO homogênea com coeficientes constantes e vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + alpha,y' + beta,y = 0
como
r^2 + alpha,r + beta = 0

Passo 3

Pela forma da solução geral, os expoentes das exponenciais são as raízes da característica. Logo
r1 = raiz5, r2 = raiz7

Passo 4

Pela fórmula de Viète aplicada a
r^2 + alpha,r + beta = 0
temos
r1 + r2 = -alpha, r1r2 = beta

Passo 5

Substituindo r1=raiz5 e r2=raiz7:
alpha = -l(raiz5 + raiz7r), beta = raiz5,raiz7 = raiz35

Resposta

(alpha,beta)=l(-(raiz5+raiz7),,raiz35r)

Exercícios relacionados