Diga se as funções abaixo são injetivas e/ou sobrejetivas e/ou bijetivas:
f: R R dada por g(x)=5 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função $ g(x) = 5x - 2 $ é injetiva, sobrejetiva ou bijeitiva. Para isso, vamos usar os conceitos de funções injetivas, sobrejetivas e bijeitivas que fazem parte do estudo de funções na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetiva. Uma função é injetiva (ou um-para-um) se nenhum valor de saída é repetido, ou seja, se $ g(x_1) = g(x_2) $ então $ x_1 = x_2 $.
Vamos testar isso para a nossa função:
g(x1) = g(x2)
Se $ g(x_1) = g(x_2) $, então:
x1 = x2
Como chegamos a $ x_1 = x_2 $, isso mostra que a função é injetiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva (ou sobre) se todo valor possível de saída na reta real ($ \mathbb{R} $) é alcançado por algum valor de entrada.
Para a nossa função linear $ g(x) = 5x - 2 $, não há restrições nos valores que $ x $ pode assumir (já que $ x $ pertence a $ \mathbb{R} $). Além disso, como o coeficiente de $ x $ é diferente de zero (nesse caso, é 5), a função pode gerar qualquer número real quando $ x $ varia sobre $ \mathbb{R} $.
Portanto, a função é sobrejetiva.

Passo 4

Como a função é tanto injetiva quanto sobrejetiva, a gente pode concluir que ela é bijeitiva. Isso significa que a função tem uma correspondência única entre cada elemento do domínio ($ \mathbb{R} R í \mathbb{R} $).

Resposta

A função $ g(x) = 5x - 2 $ é injetiva, sobrejetiva e, portanto, bijeitiva.

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