Diga como o gráfico das funções abaixo se comportam em +infty e em -infty.
f(x)=x^4-3 x^3+2 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 1 e precisa descobrir como o gráfico dela se comporta quando x vai para +infty (muito grande) e para -infty (muito pequeno). Isso envolve estudar os limites da função nesses extremos. Para isso, vamos precisar olhar para os termos da função e ver qual deles domina quando x fica muito grande ou muito pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o termo de maior grau na função. O grau de um termo é o expoente de x . Na nossa função, temos:
  • x^4 (grau 4)
  • -3x^3 (grau 3)
  • 2x^2 (grau 2)
  • 1 (grau 0)
O termo de maior grau é x^4 . Esse termo é o que mais vai influenciar o comportamento da função quando x tende para +infty ou -infty .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo dominante x^4 . Quando x cresce muito positivo ( x to +infty ) ou muito negativo ( x to -infty ), o x^4 cresce muito mais rápido que os outros termos da função. Além disso, como o coeficiente de x^4 é positivo ( +1 ), isso significa que:
  • Quando x to +infty , x^4 to +infty
  • Quando x to -infty , x^4 também to +infty (porque qualquer número negativo elevado a uma potência par vira positivo)
Os outros termos ( -3x^3 , 2x^2 e 1 ) se tornam relativamente insignificantes comparados ao x^4 nesses extremos.

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que o comportamento da função f(x) para valores muito grandes ou muito pequenos de x será dominado pelo termo x^4 . Então:
  • Para x to +infty , f(x) to +infty
  • Para x to -infty , f(x) to +infty

Resposta

O gráfico da função f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 1 tende para +infty tanto quando x vai para +infty quanto para -infty .

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