Diga como o gráfico das funções abaixo se comportam em torno de seus pontos de descontinuidade.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos analisar como o gráfico dessa função se comporta perto dos pontos onde ela não está definida, ou seja, nos seus pontos de descontinuidade. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de funções racionais, encontrar os pontos de descontinuidade e determinar o tipo de descontinuidade em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função não está definida. Isso acontece quando o denominador é igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, podemos fatorar:
Portanto, os valores de
que tornam o denominador zero são
e
. Esses são os pontos onde a função tem descontinuidade.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada ponto de descontinuidade separadamente.
Ponto
:
Substituímos na função original:
Substituímos
Como temos uma forma indeterminada
, podemos simplificar a função por fatoração:
Isso significa que, para
próximo de 2 (mas diferente de 2), a função se comporta como
, e não há descontinuidade vertical completa, apenas um “buraco” no ponto
.
Ponto
:
Substituímos na função original:
Substituímos
Aqui, o denominador é zero, mas o numerador não é zero, o que indica uma descontinuidade vertical do tipo assíntota em
. Isso significa que o gráfico da função tende a
ou
próximo a
.
Passo 4
Resumindo os resultados:
- Em
: A função possui um buraco no gráfico, pois tanto o numerador quanto o denominador se anulam nesse ponto, mas a função pode ser simplificada para próximo a . - Em
: A função apresenta uma assíntota vertical, já que o denominador se anula enquanto o numerador permanece diferente de zero, fazendo com que o gráfico da função se aproxime de ou próximo a esse valor de .
Resposta
O gráfico da função
apresenta um buraco em
e uma assíntota vertical em
.