Diga como o gráfico das funções abaixo se comportam em torno de seus pontos de descontinuidade.
f(x)=x-2x^2-5 x+6

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = x-2x^2-5x+6 e precisamos analisar como o gráfico dessa função se comporta perto dos pontos onde ela não está definida, ou seja, nos seus pontos de descontinuidade. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de funções racionais, encontrar os pontos de descontinuidade e determinar o tipo de descontinuidade em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função não está definida. Isso acontece quando o denominador é igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver a equação:
x^2 - 5x + 6 = 0
Para resolver essa equação quadrática, podemos fatorar:
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0
Portanto, os valores de x que tornam o denominador zero são x = 2 e x = 3 . Esses são os pontos onde a função tem descontinuidade.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada ponto de descontinuidade separadamente.
Ponto x = 2 :
Substituímos x = 2 na função original:
f(2) = 2-22^2-5(2)+6 = 04-10+6 = 00
Como temos uma forma indeterminada 00 , podemos simplificar a função por fatoração:
f(x) = x-2(x-2)(x-3) = 1x-3, x neq 2
Isso significa que, para x próximo de 2 (mas diferente de 2), a função se comporta como 1x-3 , e não há descontinuidade vertical completa, apenas um “buraco” no ponto x = 2 .
Ponto x = 3 :
Substituímos x = 3 na função original:
f(3) = 3-23^2-5(3)+6 = 19-15+6 = 10
Aqui, o denominador é zero, mas o numerador não é zero, o que indica uma descontinuidade vertical do tipo assíntota em x = 3 . Isso significa que o gráfico da função tende a +infty ou -infty próximo a x = 3 .

Passo 4

Resumindo os resultados:
  • Em x = 2 : A função possui um buraco no gráfico, pois tanto o numerador quanto o denominador se anulam nesse ponto, mas a função pode ser simplificada para 1x-3 próximo a x = 2 .
  • Em x = 3 : A função apresenta uma assíntota vertical, já que o denominador se anula enquanto o numerador permanece diferente de zero, fazendo com que o gráfico da função se aproxime de +infty ou -infty próximo a esse valor de x .

Resposta

O gráfico da função f(x) = x-2x^2-5x+6 apresenta um buraco em x = 2 e uma assíntota vertical em x = 3 .

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