Diga se as igualdades e equivalências seguintes são verdadeiras ou falsas. Corrija as falsas.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a veracidade da sentença
Informações/observações imediatas que temos do enunciado:
- A forma escrita não especifica o domínio de
e (podem ser números reais ou complexos ). - A sentença é uma equivalência lógica: ela afirma que as duas proposições
e são verdadeiras exatamente nas mesmas situações. - Preciso decidir se a equivalência é verdadeira em geral e, se for falsa, fornecer a correção adequada.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
em dois contextos comuns:
- Em
(números reais): costuma denotar a raiz cúbica real única de . Para todo existe exatamente um tal que . Isso porque a função é estritamente crescente em e, portanto, bijetiva ; logo tem inversa única . - Em
(números complexos): a equação tem exatamente três soluções complexas (contando multiplicidades), em geral. A notação pode ser ambígua em ; muitas vezes refere-se à “raiz cúbica principal” de , que é apenas uma das três raízes.
É por isso que a resposta pode depender do domínio que estamos considerando.
Passo 3
Prova da equivalência para
(caso real).
- Direção
. Suponha com . Ao elevar ambos os lados ao cubo, obtemos
pois a operação de elevar ao cubo cancela a raiz cúbica quando trabalhamos com a raiz cúbica real. Isso prova
.
- Direção
. Suponha com . Como a função é bijetiva em , ela tem inversa única . Aplicando a inversa obtemos . Alternativamente, é direto observar que a raiz cúbica real de é exatamente o número real cujo cubo é , logo .
Portanto, quando
e
são reais, a equivalência é verdadeira.
Passo 4
Exemplos em
para fixar a intuição:
- Se
então e . Funciona. - Se
então e . A raiz cúbica real preserva o sinal — isto é uma vantagem das raízes ímpares.
Passo 5
Análise no caso complexo (
): contraexemplo e correção.
- Contraexemplo simples: tome
. As soluções de em são
onde
satisfaz
. A notação
costuma indicar a raiz principal, isto é
. Mas
satisfaz
e
. Logo, se interpretarmos
como única (principal) raiz em
, a equivalência é falsa.
- Correção adequada em
: a afirmação correta é
onde
é uma escolha de uma raiz cúbica (a “principal”) de
e
é uma raiz primitiva cúbica da unidade. Em outras palavras,
é uma das três raízes cúbicas de
. Se quiser escrever com notação explícita:
onde agora
representa uma escolha particular (a principal) da raiz cúbica.
Passo 6
Resumo rápido e dica para prova: sempre observe o domínio! Para raízes de índice ímpar (3, 5, …), em
a raiz é única e a operação de elevar à potência ímpar é bijetiva, então as equivalências do tipo
são verdadeiras em
. Em
, para
, a equação
tem
soluções; usar a notação
sem esclarecer se é a raiz principal pode levar a erros.
Resposta
Para
: Verdadeira.
Para : Falsa. Correção:
, onde
.
Para