Diga se as igualdades e equivalências seguintes são verdadeiras ou falsas. Corrija as falsas.
x^{3}=y \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{y}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade da sentença
x^{3}=y \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{y}.
Informações/observações imediatas que temos do enunciado:
  • A forma escrita não especifica o domínio de x e y (podem ser números reais \mathbb{R} ou complexos \mathbb{C}).
  • A sentença é uma equivalência lógica: ela afirma que as duas proposições x^{3}=y e x=\sqrt[3]{y} são verdadeiras exatamente nas mesmas situações.
  • Preciso decidir se a equivalência é verdadeira em geral e, se for falsa, fornecer a correção adequada.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa \sqrt[3]{y} em dois contextos comuns:
  • Em \mathbb{R} (números reais): \sqrt[3]{y} costuma denotar a raiz cúbica real única de y. Para todo y\in\mathbb{R} existe exatamente um x\in\mathbb{R} tal que x^{3}=y. Isso porque a função f(x)=x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R} e, portanto, bijetiva \mathbb{R}\to\mathbb{R}; logo tem inversa única f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}.
  • Em \mathbb{C} (números complexos): a equação x^{3}=y tem exatamente três soluções complexas (contando multiplicidades), em geral. A notação \sqrt[3]{y} pode ser ambígua em \mathbb{C}; muitas vezes refere-se à “raiz cúbica principal” de y, que é apenas uma das três raízes.
É por isso que a resposta pode depender do domínio que estamos considerando.

Passo 3

Prova da equivalência para x,y\in\mathbb{R} (caso real).
  • Direção \Rightarrow. Suponha x=\sqrt[3]{y} com x,y\in\mathbb{R}. Ao elevar ambos os lados ao cubo, obtemos
x^{3}=(\sqrt[3]{y})^{3}=y,
pois a operação de elevar ao cubo cancela a raiz cúbica quando trabalhamos com a raiz cúbica real. Isso prova x^{3}=y.
  • Direção \Leftarrow. Suponha x^{3}=y com x,y\in\mathbb{R}. Como a função f(x)=x^{3} é bijetiva em \mathbb{R}, ela tem inversa única f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. Aplicando a inversa obtemos x=f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. Alternativamente, é direto observar que a raiz cúbica real de y é exatamente o número real cujo cubo é y, logo x=\sqrt[3]{y}.
Portanto, quando x e y são reais, a equivalência é verdadeira.

Passo 4

Exemplos em \mathbb{R} para fixar a intuição:
  • Se x=2 então x^{3}=8 e \sqrt[3]{8}=2. Funciona.
  • Se x=-3 então x^{3}=-27 e \sqrt[3]{-27}=-3. A raiz cúbica real preserva o sinal — isto é uma vantagem das raízes ímpares.

Passo 5

Análise no caso complexo ( x,y\in\mathbb{C}): contraexemplo e correção.
  • Contraexemplo simples: tome y=1. As soluções de x^{3}=1 em \mathbb{C} são
x\in\{1,\\ \omega,\\ \omega^{2}\},
onde \omega=e^{2\pi i/3}=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2} satisfaz \omega^{3}=1. A notação \sqrt[3]{1} costuma indicar a raiz principal, isto é 1. Mas x=\omega satisfaz x^{3}=1 e \omega\neq\sqrt[3]{1}. Logo, se interpretarmos \sqrt[3]{y} como única (principal) raiz em \mathbb{C}, a equivalência é falsa.
  • Correção adequada em \mathbb{C}: a afirmação correta é
x^{3}=y \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\{\rho,\\ \rho\omega,\\ \rho\omega^{2}\},
onde \rho é uma escolha de uma raiz cúbica (a “principal”) de y e \omega=e^{2\pi i/3} é uma raiz primitiva cúbica da unidade. Em outras palavras, x é uma das três raízes cúbicas de y. Se quiser escrever com notação explícita:
x^{3}=y \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left\{\sqrt[3]{y},\\ \omega\sqrt[3]{y},\\ \omega^{2}\sqrt[3]{y}\right\},
onde agora \sqrt[3]{y} representa uma escolha particular (a principal) da raiz cúbica.

Passo 6

Resumo rápido e dica para prova: sempre observe o domínio! Para raízes de índice ímpar (3, 5, …), em \mathbb{R} a raiz é única e a operação de elevar à potência ímpar é bijetiva, então as equivalências do tipo x^{n}=y \iff x=\sqrt[n]{y} são verdadeiras em \mathbb{R}. Em \mathbb{C}, para n\ge2, a equação x^{n}=y tem n soluções; usar a notação \sqrt[n]{y} sem esclarecer se é a raiz principal pode levar a erros.

Resposta

Para x,y\in\mathbb{R}: Verdadeira.
Para x,y\in\mathbb{C}: Falsa. Correção: x^{3}=y \iff x\in\{\sqrt[3]{y},\\ \omega\sqrt[3]{y},\\ \omega^{2}\sqrt[3]{y}\}, onde \omega=e^{2\pi i/3}.

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