Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos:
(para todo) e
(existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a proposição a seguir é verdadeira ou falsa:
Informações dadas:
- O domínio da quantificação é
(todos os reais). - A proposição afirma que, para todo
real, o valor absoluto de é igual a próprio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de valor absoluto de forma bem direta e sem mistério:
- Para qualquer
Expliquei a definição: se
é negativo, o valor absoluto é o oposto (negativo de
), que é um número positivo.]
Passo 3
Verificação para
: se
, pela definição temos
. Assim, em todos os
não negativos a igualdade
é verdadeira.
Passo 4
Verificação para
: se
, pela definição temos
. Como
, então
, e portanto
não é igual a
(pois
é negativo e
é positivo). Logo, para qualquer
temos
. Isso já mostra que existem valores de
para os quais
é falso.
Passo 5
Dar um contraexemplo explícito (forma simples e direta de refutar uma afirmação universal): escolha
. Então
portanto a propriedade
falha para
.
Passo 6
Conclusão lógica: uma afirmação do tipo
é verdadeira somente se
for verdadeiro para todo
. Encontrando um único
tal que
é falso (um contraexemplo) basta para concluir que a afirmação universal é falsa. Aqui exibimos
(ou qualquer
) como contraexemplo, então a proposição dada é falsa. Uma forma lógica equivalente da negação é
e de fato existe tal
.
Resposta
Falsa.