Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos: \forall (para todo) e \exists (existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
(\forall x \in \mathbb{R},|x|=x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a proposição a seguir é verdadeira ou falsa:
(\forall x \in \mathbb{R},\; |x| = x).
Informações dadas:
  • O domínio da quantificação é \mathbb{R} (todos os reais).
  • A proposição afirma que, para todo x real, o valor absoluto de x é igual a x próprio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de valor absoluto de forma bem direta e sem mistério:
  • Para qualquer x\in\mathbb{R}\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Expliquei a definição: se x\] é não negativo, o valor absoluto é ele mesmo; se \(x é negativo, o valor absoluto é o oposto (negativo de x), que é um número positivo.]

Passo 3

Verificação para x\ge 0: se x\ge 0, pela definição temos |x|=x. Assim, em todos os x não negativos a igualdade |x|=x é verdadeira.

Passo 4

Verificação para x<0: se x<0, pela definição temos |x|=-x. Como x<0, então -x>0, e portanto -x não é igual a x (pois x é negativo e -x é positivo). Logo, para qualquer x<0 temos |x|=-x \neq x. Isso já mostra que existem valores de x para os quais |x|=x é falso.

Passo 5

Dar um contraexemplo explícito (forma simples e direta de refutar uma afirmação universal): escolha x=-1. Então
|-1| = 1 \neq -1,
portanto a propriedade |x|=x falha para x=-1.

Passo 6

Conclusão lógica: uma afirmação do tipo \forall x,\;P(x) é verdadeira somente se P(x) for verdadeiro para todo x. Encontrando um único x tal que P(x) é falso (um contraexemplo) basta para concluir que a afirmação universal é falsa. Aqui exibimos x=-1 (ou qualquer x<0) como contraexemplo, então a proposição dada é falsa. Uma forma lógica equivalente da negação é
\neg\bigl(\forall x\in\mathbb{R},\;|x|=x\bigr)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists x\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ |x|\neq x,
e de fato existe tal x.

Resposta

Falsa.

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