Para uma máquina de massa
com fator de amortecimento
, massa de desbalanceamento
e amplitude de deslocamento de
na frequência de ressonância, determinar:
a. A excentricidade " e "
b. A massa
para
a. A excentricidade " e "
b. A massa
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá alguns dados numéricos. Vou listar explicitamente o que é pedido e as informações fornecidas:
- Pedido (a): determinar a excentricidade
. - Pedido (b): determinar a massa adicional
que deve ser acrescentada à máquina para que a amplitude na ressonância passe a ser .
Dados fornecidos:
Observações importantes (não resolvo ainda, só explico o que temos):
- A amplitude dada
é na frequência de ressonância (ou seja, ). - Para a parte (b) a nova amplitude desejada é
. - Pressuporei que o amortecimento
e o desbalanceamento permanecem os mesmos ao acrescentar (hipótese habitual neste tipo de problema, salvo indicação em contrário).
Passo 2
Conceito e fórmula principal para amplitude na ressonância (explicação didática).
- Um corpo com desbalanceamento
deslocado de sua linha de centro por uma excentricidade e girando com velocidade angular gera uma força centrífuga periódica de amplitude
Aqui
tem unidades de newtons,
é a massa do desbalanceamento,
é a excentricidade (metros) e
é a velocidade angular (rad/s).
- Para um sistema massa-mola-amortecedor de massa total
, rigidez e razão de amortecimento , a frequência natural é
Logo
.
- A amplitude estacionária
de um sistema forçado por na frequência é, em geral,
onde
.
- Na ressonância temos
. Substituindo a expressão simplifica bastante:
Agora substituímos
e
. Então
Assim obtemos a fórmula prática e muito utilizada para amplitude na ressonância:
Explicação das variáveis desta fórmula:
-
: amplitude (m) observada na ressonância. -
: massa do desbalanceamento (kg). -
: excentricidade (m) — é o que queremos achar em (a). -
: fator de amortecimento adimensional. -
: massa efetiva do sistema (kg).
Passo 3
Resolver a parte (a): isolar
e calcular numericamente, passo a passo.
Da fórmula da ressonância temos
Isolando
:
Agora substituímos os valores dados (vou mostrar as contas com atenção):
Calcule passo a passo:
Então o numerador é
. Agora divido por
:
Convertendo para milímetros (por intuição):
.
Portanto a excentricidade encontrada é
(aprox.).
Passo 4
Escolha do método para a parte (b) e hipóteses explicadas.
- Queremos agora ajustar a massa do sistema para que a amplitude na ressonância seja
. - Mantemos o desbalanceamento
e a excentricidade que acabamos de calcular, e também mantemos o fator de amortecimento igual (hipótese do exercício). - Assim, usando a mesma fórmula da ressonância, com a massa total alterada para
, temos
Isolando
:
E então
Explicação: aumentar a massa reduz a amplitude na ressonância porque a mesma força
produz deslocamento menor quando a inércia é maior (veja a dependência inversa com
na fórmula).
Passo 5
Calcular numericamente
passo a passo.
Já temos
. Podemos reutilizar o produto calculado anteriormente:
Agora o denominador para a nova amplitude é
Calcule:
Agora
Finalmente
Interpretação rápida: é necessário acrescentar
à massa da máquina (passando de
para
) para reduzir a amplitude na ressonância de
para
, mantendo as outras quantidades constantes.