Para uma máquina de massa M=1,2 \mathrm{~kg} com fator de amortecimento \zeta=0,07, massa de desbalanceamento m=0,15 \mathrm{~kg} e amplitude de deslocamento de X=0,08 \mathrm{~m} na frequência de ressonância, determinar:
a. A excentricidade " e "
b. A massa \Delta M para X=0,015 \mathrm{~m} .[9 \mathrm{~kg}]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá alguns dados numéricos. Vou listar explicitamente o que é pedido e as informações fornecidas:
  • Pedido (a): determinar a excentricidade \,e.
  • Pedido (b): determinar a massa adicional \Delta M que deve ser acrescentada à máquina para que a amplitude na ressonância passe a ser X=0,015\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos:
M=1,2\\ \mathrm{kg},\qquad \zeta=0,07,\qquad m=0,15\\ \mathrm{kg}, \qquad X_{\text{ressonância}}=0,08\\ \mathrm{m}\\ \text{(para a parte (a))}.â
Observações importantes (não resolvo ainda, só explico o que temos):
  • A amplitude dada \,X=0,08\\ \mathrm{m} é na frequência de ressonância (ou seja, \omega=\omega_n).
  • Para a parte (b) a nova amplitude desejada é \,X=0,015\\ \mathrm{m}.
  • Pressuporei que o amortecimento \zeta e o desbalanceamento m permanecem os mesmos ao acrescentar \Delta M (hipótese habitual neste tipo de problema, salvo indicação em contrário).

Passo 2

Conceito e fórmula principal para amplitude na ressonância (explicação didática).
  • Um corpo com desbalanceamento m deslocado de sua linha de centro por uma excentricidade e e girando com velocidade angular \omega gera uma força centrífuga periódica de amplitude
F = m\,e\,\omega^{2}.
Aqui F tem unidades de newtons, m é a massa do desbalanceamento, e é a excentricidade (metros) e \omega é a velocidade angular (rad/s).
  • Para um sistema massa-mola-amortecedor de massa total M, rigidez k e razão de amortecimento \zeta, a frequência natural é
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{M}}.
Logo k=M\omega_{n}^{2}.
  • A amplitude estacionária X de um sistema forçado por F na frequência \omega é, em geral,
X=\frac{F/k}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}},
onde r=\dfrac{\omega}{\omega_{n}}.
  • Na ressonância temos r=1. Substituindo r=1 a expressão simplifica bastante:
X_{\text{ress}}=\frac{F/k}{2\zeta}.
Agora substituímos F=m e \omega_{n}^{2} e k=M\omega_{n}^{2}. Então
\frac{F}{k}=\frac{m e \omega_{n}^{2}}{M\omega_{n}^{2}}=\frac{m e}{M}.
Assim obtemos a fórmula prática e muito utilizada para amplitude na ressonância:
\boxed{X_{\text{ress}}=\frac{m\,e}{2\,\zeta\,M}.}
Explicação das variáveis desta fórmula:
  • \,X_{\text{ress}}: amplitude (m) observada na ressonância.
  • \,m: massa do desbalanceamento (kg).
  • \,e: excentricidade (m) — é o que queremos achar em (a).
  • \,\zeta: fator de amortecimento adimensional.
  • \,M: massa efetiva do sistema (kg).

Passo 3

Resolver a parte (a): isolar \,e e calcular numericamente, passo a passo.
Da fórmula da ressonância temos
X_{\text{ress}}=\frac{m\,e}{2\zeta M}.
Isolando \,e:
e=\frac{2\zeta M X_{\text{ress}}}{m}.
Agora substituímos os valores dados (vou mostrar as contas com atenção):
2\zeta M X_{\text{ress}}=2\cdot 0,07\cdot 1,2\cdot 0,08.
Calcule passo a passo:
2\cdot 0,07 = 0,14,
0,14\cdot 1,2 = 0,168,
0,168\cdot 0,08 = 0,01344.
Então o numerador é 0,01344. Agora divido por m=0,15:
e=\frac{0,01344}{0,15}=0,0896\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros (por intuição): 0,0896\\ \mathrm{m}=89,6\\ \mathrm{mm}.
Portanto a excentricidade encontrada é \,e=0,0896\\ \mathrm{m} (aprox.).

Passo 4

Escolha do método para a parte (b) e hipóteses explicadas.
  • Queremos agora ajustar a massa do sistema para que a amplitude na ressonância seja X_{\text{novo}}=0,015\\ \mathrm{m}.
  • Mantemos o desbalanceamento m e a excentricidade e que acabamos de calcular, e também mantemos o fator de amortecimento \zeta igual (hipótese do exercício).
  • Assim, usando a mesma fórmula da ressonância, com a massa total alterada para M_{\text{novo}}=M+\Delta M, temos
X_{\text{novo}}=\frac{m\,e}{2\zeta(M+\Delta M)}.
Isolando M+\Delta M:
M+\Delta M=\frac{m\,e}{2\zeta X_{\text{novo}}}.
E então
\Delta M=\frac{m\,e}{2\zeta X_{\text{novo}}}-M.
Explicação: aumentar a massa reduz a amplitude na ressonância porque a mesma força m e \omega_n^2 produz deslocamento menor quando a inércia é maior (veja a dependência inversa com M na fórmula).

Passo 5

Calcular numericamente \Delta M passo a passo.
Já temos m\,e. Podemos reutilizar o produto calculado anteriormente:
m\,e = 0,15\cdot 0,0896 = 0,01344.
Agora o denominador para a nova amplitude é
2\zeta X_{\text{novo}} = 2\cdot 0,07\cdot 0,015.
Calcule:
2\cdot 0,07 = 0,14,
0,14\cdot 0,015 = 0,0021.
Agora
M+\Delta M=\frac{0,01344}{0,0021}=6,4\\ \mathrm{kg}.
Finalmente
\Delta M = 6,4 - M = 6,4 - 1,2 = 5,2\\ \mathrm{kg}.
Interpretação rápida: é necessário acrescentar \,5,2\\ \mathrm{kg} à massa da máquina (passando de 1,2\\ \mathrm{kg} para 6,4\\ \mathrm{kg}) para reduzir a amplitude na ressonância de 0,08\\ \mathrm{m} para 0,015\\ \mathrm{m}, mantendo as outras quantidades constantes.

Resposta

e=0,0896\\ \mathrm{m}
\Delta M=5,2\\ \mathrm{kg}

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