Diga, justificando qual o número de raízes reais da equação e^x+3 m x=0, com m>0.

Passo 1

Vamos estudar a equação
e^x + 3m,x = 0
com m>0. Definimos a função
f(x) = e^x + 3m,x
e vamos usar cálculo de derivada, comportamento nas extremidades e o Teorema do Valor Intermediário para determinar quantas raízes reais existem.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = ddxl(e^x + 3m,xr) = e^x + 3m
Como e^x>0 para todo x e m>0, temos
e^x + 3m > 0 + 0 = 0,
portanto
f'(x)>0para todo xinR

Passo 3

Do fato de f'(x)>0 em R segue que f é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo x no máximo uma vez, logo a equação f(x)=0 admite no máximo uma solução real.

Passo 4

Analisamos os limites nos extremos:
limxto -inftyf(x) =limxto -inftyl(e^x+3m,xr) =0 + (-infty) = -infty,
limxto +inftyf(x) =limxto +inftyl(e^x+3m,xr) =+infty + (+infty) = +infty
Como f é contínua, ao passar de valores negativos para positivos ela deve zerar uma vez (Teorema do Valor Intermediário).

Passo 5

Concluímos que existe exatamente uma abscissa x0 tal que
f(x0)=0
A monotonicidade garante que não haja outra raiz.

Resposta

A equação e^x+3m,x=0 com m>0 tem exatamente uma única raiz real.

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