Diga, justificando qual o número de raízes reais da equação
, com
.
Passo 1
Vamos estudar a equação
com
. Definimos a função
e vamos usar cálculo de derivada, comportamento nas extremidades e o Teorema do Valor Intermediário para determinar quantas raízes reais existem.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Como
para todo
e
, temos
portanto
Passo 3
Do fato de
em
segue que
é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo
no máximo uma vez, logo a equação
admite no máximo uma solução real.
Passo 4
Analisamos os limites nos extremos:
Como
é contínua, ao passar de valores negativos para positivos ela deve zerar uma vez (Teorema do Valor Intermediário).
Passo 5
Concluímos que existe exatamente uma abscissa
tal que
A monotonicidade garante que não haja outra raiz.
Resposta
A equação
com
tem exatamente uma única raiz real.