Faça o estudo completo das seguintes funções:
f(x)=2 x+log (1+1x)

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x) = 2x + log!l(1 + tfrac1xr)
O conteúdo envolve domínio de logaritmo, derivadas para monotonicidade e concavidade, limites para assíntotas e identificação de extremos.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Para logl(1+tfrac1xr) é preciso
1 + tfrac1x > 0 Long<=ftrightarrow tfracx+1x>0
Isso ocorre se x>0 (numerador e denominador positivos) ou se x<-1 (numerador e denominador negativos). Logo
D = (-infty,-1),cup,(0,infty)

Passo 3

Calcular f'(x) e estudar monotonicidade.
f'(x) = 2 + ddx!l[logl(1+tfrac1xr)r] =2 - 1x(x+1)
Resolver f'(x)=0:
2 = 1x(x+1) Long<=ftrightarrow x^2 + x - tfrac12 = 0 Longrightarrow x = -1pmraiz32
Dos dois valores, tfrac-1-raiz32approx-1,366in(-infty,-1) e tfrac-1+raiz32approx0,366in(0,infty).
Analisando o sinal de f' em cada intervalo do domínio:
  • Em (-infty,tfrac-1-raiz32), f'>0 Rightarrow f crescente.
  • Em (tfrac-1-raiz32,-1), f'<0 Rightarrow f decrescente.
  • Em (0,tfrac-1+raiz32), f'<0 Rightarrow f decrescente.
  • Em (tfrac-1+raiz32,infty), f'>0 Rightarrow f crescente.
Portanto há um máximo local em
x1 = -1-raiz32,
e um mínimo local em
x2 = -1+raiz32

Passo 4

Calcular os valores de f nesses extremos:
Para x1 = -tfrac1+raiz32, tem-se
1 + 1x1 = 2-raiz3,
f(x1) = 2,x1 + log(2-raiz3) = -l(1+raiz3r) + log(2-raiz3)
Para x2 = tfracraiz3-12,
1 + 1x2 = raiz3 + 2,
f(x2) = 2,x2 + log(raiz3+2) = (raiz3-1) + log(raiz3+2)

Passo 5

Determinar f''(x) e estudar concavidade.
f''(x) = -ddx!l[1x(x+1)r] = 2x+1l[x(x+1)r]^2
No domínio, l[x(x+1)r]^2>0. Assim o sinal de f'' vem de 2x+1:
  • Em (-infty,-1), 2x+1<0 Rightarrow f é côncavo para baixo.
  • Em (0,infty), 2x+1>0 Rightarrow f é côncavo para cima.
    Como a raiz de 2x+1=0 é x=-tfrac12notinD, não há ponto de inflexão.

Passo 6

Calcular limites para assíntotas.
1) Verticais nos pontos excluídos do domínio:
  • xto -1^-: 1+1/xto0^+ Rightarrow logto -infty Rightarrow f(x)to -infty.
  • xto 0^+: 1+1/xto+infty Rightarrow logto +infty Rightarrow f(x)to +infty.
    2) Obliquas em pminfty:
a = limxtopminftyf(x)x = liml(2 + log(1+1/x)xr) = 2,
b = limxtopminftyl[f(x) - 2xr] = lim log(1+1/x) = 0
Logo a reta y=2x é assíntota oblíqua em ambos os lados.

Resposta

Domínio:
D=(-infty,-1),cup,(0,infty)
Monotonicidade:
crescente em (-infty,tfrac-1-raiz32), decrescente em (tfrac-1-raiz32,-1), decrescente em (0,tfrac-1+raiz32), crescente em (tfrac-1+raiz32,infty)
Extremos locais:
&máximo em x1=-tfrac1+raiz32, f(x1)=-l(1+raiz3r)+log(2-raiz3), &mínimo em x2=tfracraiz3-12, f(x2)=raiz3-1+log(raiz3+2) áí
Concavidade:
côncavo para baixo em (-infty,-1), côncavo para cima em (0,infty) ôô
Assíntotas verticais: x=-1 e x=0.
Assíntota oblíqua em pminfty: y=2x.
Não há interceptos com os eixos nem pontos de inflexão.

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