Gera-se um cilindro reto pela rotação de um retângulo de perímetro p em torno de um dos seus lados. Quais as dimensões que gerarão um cilindro de volume máximo?

Passo 1

Temos um retângulo de lados x e y cuja rotação em torno do lado x gera um cilindro de altura x e raio y. Como o perímetro do retângulo é p, vale
2(x+y)=p
ou seja
y=p2-x
O volume do cilindro é dado por
V=pi,(raio)^2times(a<ura)=pi,y^2,x

Passo 2

Substituindo y=tfracp2-x em V obtemos
V(x)=pi,xl(p2-xr)^2

Passo 3

Para achar o máximo, calculamos a derivada de V(x) e igualamos a zero:
V'(x) =pil[(tfracp2-x)^2+xcdot2(tfracp2-x)(-1)r] =pi,(tfracp2-x),(tfracp2-3x)
Logo as raízes são x=tfracp2 (extremo inviável) e
x=p6

Passo 4

Tomando x=tfracp6 e verificando que V''(p/6)<0 confirma-se que é máximo. Então
y=p2-p6=p3

Resposta

O retângulo deve ter lados
x=p6 e y=p3,
e gira-se em torno do lado de comprimento tfracp6, gerando um cilindro de altura tfracp6 e raio tfracp3.

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