Uma escada de comprimento 10 metros encostada numa parede, começa a escorregar. A parte inferior escorrega a uma taxa constante de 1 m / s. Com que velocidade a parte superior da escada escorrega no momento em que a escada estiver a 6 metros de distância da casa?

Passo 1

O problema descreve uma escada de comprimento constante apoiada numa parede que começa a escorregar: a parte inferior afasta-se da parede com velocidade constante de 1 m/s e queremos saber com que velocidade a parte superior desce no instante em que a base está a 6 m da parede. O conteúdo aqui é de derivadas implícitas e taxas relacionadas (related rates).

Passo 2

Denotemos por x(t) a distância da base da escada ao pé da parede e por y(t) a altura do topo da escada em relação ao chão. Como o comprimento da escada é sempre 10 m, temos a relação
x(t)^2 + y(t)^2 = 10^2

Passo 3

Para relacionar as velocidades dot x = dxdt e dot y = dydt, derivamos implicitamente ambos os lados da equação em relação a t:
2,x,dxdt + 2,y,dydt = 0

Passo 4

Isolando dydt, obtemos
y,dydt = -,x,dxdt Longrightarrow dydt = -,xy,dxdt

Passo 5

No instante pedido temos x = 6 m. Da relação x^2 + y^2 = 100 segue
y = raiz100 - 6^2 = raiz64 = 8 m
Além disso dxdt=1 m/s. Logo
dydt = -,68cdot 1 = -,tfrac34 m/s

Resposta

A parte superior da escada escorrega para baixo com velocidade de -tfrac34 m/s (ou seja, 0,75 m/s para baixo).

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