Uma escada de comprimento 10 metros encostada numa parede, começa a escorregar. A parte inferior escorrega a uma taxa constante de
. Com que velocidade a parte superior da escada escorrega no momento em que a escada estiver a 6 metros de distância da casa?
Passo 1
O problema descreve uma escada de comprimento constante apoiada numa parede que começa a escorregar: a parte inferior afasta-se da parede com velocidade constante de
e queremos saber com que velocidade a parte superior desce no instante em que a base está a
da parede. O conteúdo aqui é de derivadas implícitas e taxas relacionadas (related rates).
Passo 2
Denotemos por
a distância da base da escada ao pé da parede e por
a altura do topo da escada em relação ao chão. Como o comprimento da escada é sempre
, temos a relação
Passo 3
Para relacionar as velocidades
e
, derivamos implicitamente ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Isolando
, obtemos
Passo 5
No instante pedido temos
. Da relação
segue
Além disso
. Logo
Resposta
A parte superior da escada escorrega para baixo com velocidade de
(ou seja,
para baixo).