Questão 2.

(15 P.) Considere o problema de propagação do calor abaixo com solução u=u(x, t).
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u=4 \partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<\pi, t>0 \\\ u(0, t)=0, u(\pi, t)=-\pi^{3}, \quad t \geq 0 \\\ u(x, 0)=-x^{3}, \quad 0 \leq x \leq \pi \end{array}\right.
(a) Obtenha a solução estacionária do problema.
(b) Determine uma expressão para a solução do problema.
(c) A expressão que você obteve satisfaz a condição inicial? E as condições de fronteira? Por quê?
(d) Apresente uma aproximação razoável para u(x, 100000). Justifique.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor
\partial_{t}u = 4\,\partial_{x}^{2}u,\quad 0<x<\pi,\;t>0
com condições de contorno não homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=-\pi^{3}
e condição inicial
u(x,0)=-\,x^{3}.
O conteúdo principal é resolver PDE pelo método de separação de variáveis mais série de Fourier para lidar com contornos homogêneos, decompondo em parte estacionária e parte transitória.

Passo 2

Buscamos primeiro a solução estacionária u_{s}(x), onde \partial_{t}u_{s}=0. Da equação segue
4\,u_{s}''(x)=0\;\Longrightarrow\;u_{s}(x)=A\,x+B.
Impondo u_{s}(0)=0 B=0 e u_{s}(\pi)=-\pi^{3} A\,\pi=-\pi^{3}, logo
u_{s}(x)=-\pi^{2}\,x.

Passo 3

Definimos v(x,t)=u(x,t)-u_{s}(x). Então v satisfaz
v_{t}=4\,v_{xx},\quad v(0,t)=0,\;v(\pi,t)=0,
com condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-u_{s}(x)=-x^{3}+\pi^{2}x.
Usando separação de variáveis e série de senos, escrevemos
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin(nx)\,e^{-4n^{2}t},
onde os coeficientes vêm de
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(-x^{3}+\pi^{2}x\bigr)\sin(nx)\,dx.
Calculando a integral por partes (três vezes) chega-se a
b_{n}=12\,\frac{(-1)^{\,n+1}}{n^{3}}.
Portanto a solução completa é
u(x,t)=-\pi^{2}x \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}12\,\frac{(-1)^{\,n+1}}{n^{3}}\, \sin(nx)\,e^{-4n^{2}t}.

Passo 4

Verificações:
  1. Em t=0 temos
u(x,0)=-\pi^{2}x+\sum_{n=1}^\infty12\,\frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}}\sin(nx),
que é exatamente a expansão em série de -x^{3}, logo satisfaz a condição inicial.
2. Em x=0 ou x=\pi o termo de série some \sin(0)=0,\,\sin(n\pi)=0 e sobra u(0,t)=0, u(\pi,t)=-\pi^{2}\pi=-\pi^{3}, logo as fronteiras estão corretas.

Passo 5

Para t muito grande (por exemplo t=100000) todos os modos transitórios decaem exponencialmente como e^{-4n^{2}t}\approx0. Assim
u(x,100000)\approx u_{s}(x)=-\pi^{2}x.

Resposta

(a) u_{s}(x)=-\pi^{2}x.
(b) \displaystyle u(x,t)=-\pi^{2}x+\sum_{n=1}^{\infty}12\,\frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}}\sin(nx)\,e^{-4n^{2}t}.
(c) Sim: em t=0 a série recupera -x^{3}, e em x=0,\pi o termo de série anula, sobrando exatamente as condições de contorno.
(d) Para t=100000, u(x,100000)\approx-\pi^{2}x porque todos os modos e^{-4n^{2}t} já são desprezíveis.

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