(15 P.) Considere o problema de propagação do calor abaixo com solução u=u(x, t).
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u=4 \partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<\pi, t>0 \\\ u(0, t)=0, u(\pi, t)=-\pi^{3}, \quad t \geq 0 \\\ u(x, 0)=-x^{3}, \quad 0 \leq x \leq \pi \end{array}\right.
(a) Obtenha a solução estacionária do problema.
(b) Determine uma expressão para a solução do problema.
(c) A expressão que você obteve satisfaz a condição inicial? E as condições de fronteira? Por quê?
(d) Apresente uma aproximação razoável para u(x, 100000). Justifique.
O conteúdo principal é resolver PDE pelo método de separação de variáveis mais série de Fourier para lidar com contornos homogêneos, decompondo em parte estacionária e parte transitória.
Passo 2
Buscamos primeiro a solução estacionáriau_{s}(x), onde \partial_{t}u_{s}=0. Da equação segue
que é exatamente a expansão em série de -x^{3}, logo satisfaz a condição inicial.
2. Em x=0 ou x=\pi o termo de série some \sin(0)=0,\,\sin(n\pi)=0 e sobra u(0,t)=0, u(\pi,t)=-\pi^{2}\pi=-\pi^{3}, logo as fronteiras estão corretas.
Passo 5
Para t muito grande (por exemplo t=100000) todos os modos transitórios decaem exponencialmente como e^{-4n^{2}t}\approx0. Assim
u(x,100000)\approx u_{s}(x)=-\pi^{2}x.
Resposta
(a) u_{s}(x)=-\pi^{2}x.
(b) \displaystyle u(x,t)=-\pi^{2}x+\sum_{n=1}^{\infty}12\,\frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}}\sin(nx)\,e^{-4n^{2}t}.
(c) Sim: em t=0 a série recupera -x^{3}, e em x=0,\pi o termo de série anula, sobrando exatamente as condições de contorno.
(d) Para t=100000, u(x,100000)\approx-\pi^{2}x porque todos os modos e^{-4n^{2}t} já são desprezíveis.