Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
lim (x, y) (5,-4) x+y-1x+2 y+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função x + y - 1x + 2y + 3 quando (x, y) se aproxima de (5, -4). Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, e para resolver isso, precisamos analisar o comportamento da função quando nos aproximamos do ponto especificado por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando substituímos x = 5 e y = -4.
  • Numerador: x + y - 1 = 5 + (-4) - 1 = 0
  • Denominador: x + 2y + 3 = 5 + 2*(-4) + 3 = 5 - 8 + 3 = 0
Então, temos uma forma indeterminada 00 . Isso significa que precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite realmente existe.

Passo 3

Para analisar se o limite existe, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais (x, y) pode se aproximar de (5, -4). Se o valor do limite depender do caminho escolhido, então o limite não existe.
Vamos parametrizar x e y em termos de pequenas variações h e k:
  • x = 5 + h
  • y = -4 + k
Onde h e k tendem a 0. Substituindo na função original:
(5 + h) + (-4 + k) - 1(5 + h) + 2*(-4 + k) + 3 = h + kh + 2k

Passo 4

Agora, vamos escolher diferentes relações entre h e k para ver o que acontece com o limite.
Primeiro Caminho: Suponha que h = k.
Então, a expressão fica:
h + hh + 2h = 2h3h = 23
Segundo Caminho: Suponha que h = -2k.
Então, a expressão fica:
-2k + k-2k + 2k = -k0
Aqui, o denominador se torna 0, o que indica que o limite tende ao infinito ou não existe nesse caminho.

Passo 5

Vemos que ao escolher caminhos diferentes, os resultados para o limite são diferentes ( 23 em um caminho e indefinido no outro). Isso mostra que o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de (5, -4).

Resposta

O limite não existe porque depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (5, -4).

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