Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, e para resolver isso, precisamos analisar o comportamento da função quando nos aproximamos do ponto especificado por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando substituímos
e
.
- Numerador:
- Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite realmente existe.
Passo 3
Para analisar se o limite existe, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
. Se o valor do limite depender do caminho escolhido, então o limite não existe.
Vamos parametrizar
e
em termos de pequenas variações
e
:
Onde
e
tendem a 0. Substituindo na função original:
Passo 4
Agora, vamos escolher diferentes relações entre
e
para ver o que acontece com o limite.
Primeiro Caminho: Suponha que
.
Então, a expressão fica:
Segundo Caminho: Suponha que
.
Então, a expressão fica:
Aqui, o denominador se torna 0, o que indica que o limite tende ao infinito ou não existe nesse caminho.
Passo 5
Vemos que ao escolher caminhos diferentes, os resultados para o limite são diferentes (
em um caminho e indefinido no outro). Isso mostra que o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Resposta
O limite não existe porque depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.